早稲田大学 政治経済学部 2010年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 政治経済学部
年度 2010年度
問No 問3
学部 政治経済学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=140mm \textheight=205mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\3dots{\makebox[1zw][c]{$\cdot\!\cdot\!\cdot$}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage}{\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}\makebox[2zw][c] {\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.7zw}\parbox{135mm}{\quad$A\ を正定数,角\ \theta\ を\ 0^\circ<\theta<45^\circ\,とし,数列\{a_n\}を \\[4mm]\hspace*{5.5zw} a_1^{}=\dfrac{A\,\sin\theta}{\ 1+\sin\theta\,} \\[2mm]\hspace*{5.5zw} a_n=\dfrac{\bigl\{A-2(a_1^{}+a_2^{}+\3dots+a_{n-1}^{})\bigr\}\hspace*{1pt} \sin\theta\,}{1+\sin\theta} \quad (\,n=2\,,\,3\,,\,\3dots) \\[4mm] で定義する。\\[1mm]\quad このとき,次の各問に答えよ。\ \paalen{\hspace*{-.5pt} \textgt{1}\hspace*{.5pt}},\ \paalen{\textgt{3}}は答のみ解答欄に記入せよ。\\[4mm] \paalen{\hspace*{-.5pt}\textgt{1}\hspace*{.5pt}}\ \ \,\dfrac{\ a_2^{}\,} {\ a_1^{}\,}\ を,\ \,A\makebox[20pt][c]{と}\theta\hspace*{5pt}を用いて表せ。\\[4mm] \paalen{\textgt{2}}\quad\, a_n\ \,(\,n\geqq 3\,)\ \,を,\ \,a_{n-1}^{}\ および\ A,\ \ \theta\hspace*{5pt}を用いて表せ。\\[4mm] \paalen{\textgt{3}}\quad 初項から第\ n\ 項までの和\ S_n=a_1^{}+\3dots+a_n\ を,\ \,A,\ \,\theta\hspace*{4pt}および\ n\ を用いて\\[1mm]\qquad 表せ。$} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\[1mm] \hspace*{5zw} a_n=\frac{\,\{A-2(a_1^{}+a_2^{}+\3dots+a_{n-1}^{})\}\sin\theta \ }{1+\sin\theta} \quad(\,n=2\,,\ 3\,,\,\3dots) \hfill\cdots\cdots\ (*) \\ [4mm]\paalen{\makebox[10pt][c]{\textgt{1}\hspace*{1pt}}}\ \ 漸化式 \raisebox{.5pt}{$(*)$}より \\[1mm]\makebox[7zw][r] {$a_2^{}$}=\frac{\,(A-2a_1^{})\sin\theta\,}{1+\sin\theta} \\[1.5mm] \hspace*{7zw} =A\Bigl(1-\frac{2\sin\theta}{\,1+\sin\theta\,}\Bigr) \frac{\sin\theta}{\,1+\sin\theta\,} \\[1.5mm] \hspace*{7zw} =\frac{1-\sin\theta}{\,1+\sin\theta\,}\ten \frac{A\sin\theta}{\,1+\sin\theta\,} \\[1.5mm]\hspace*{7zw} =\frac{1-\sin\theta}{\,1+\sin\theta\,}\hspace*{1pt}a_1^{} \\[2mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ \frac{\,a_2^{}}{\,a_1^{}} =\frac{1-\sin\theta}{\,1+\sin\theta\,} \ \ \ (答) \\[4mm] \paalen{\textgt{2}}\ \ n\geqq 3のとき,漸化式\raisebox{.5pt}{$(*)$}より\\[1mm] \makebox[7.1zw][r]{$a_n$}=\frac{\,\{A-2(a_1^{}+a_2^{}+\3dots+a_{n-2}^{}) -2\hspace*{.5pt}a_{n-1}^{}\}\sin\theta\ }{1+\sin\theta} \\[1.5mm] \hspace*{7.1zw} =a_{n-1}-\frac{2\sin\theta}{\,1+\sin\theta\,}\hspace*{1pt} a_{n-1} \\[1.5mm]\hspace*{7.1zw} =\frac{1-\sin\theta}{\,1+\sin\theta\,}\hspace*{1pt}a_{n-1}\ \ \ (答) \\[4mm] \paalen{\textgt{3}}\ \ \paalen{\textgt{1}}および\paalen{\textgt{2}}より, \ \ \{a_n\}は初項\,\frac{A\sin\theta}{\,1+\sin\theta\,},\ \,公比\,\frac{1- \sin\theta}{\,1+\sin\theta\,}\,の等比数列であり,\\[1.5mm] \quad\, \sin\theta\neq 0より\,\frac{1-\sin\theta}{\,1+\sin\theta\,}\neq 1である から,和の公式より \\[2mm]\makebox[7.2zw][r] {$S_n$}=\frac{\,\raisebox{3mm}{$\dfrac{A\sin\theta}{\,1+\sin\theta\,} \biggl\{1-\biggl(\dfrac{1-\sin\theta}{\,1+\sin\theta\,}\biggr)^{\!n}\biggr\} $}\,}{1-\dfrac{1-\sin\theta}{\,1+\sin\theta\,}\tabtopsp{1mm}} \\[2mm] \hspace*{7.2zw} =\frac{\,A\,}{2}\biggl\{1-\biggl(\frac{1-\sin\theta} {\,1+\sin\theta\,}\biggr)^{\!n}\biggr\} \ \ \ (答) \\[5mm] \ \,\paalen{注}\ \ A,\ \theta\,の条件は \\ \hspace*{6zw} 1+\sin\theta\neq 0,\ \ \sin\theta\neq 0 \\ \qquad でさえあれば十分なので,必要以上にA>0,\ \,0^\circ<\theta<45^\circ\,と 仮定する意図\\ \qquad は不明。原案では,さらに問題が続いたのかもしれない。$ \end{document}