早稲田大学 商学部 2010年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 商学部
年度 2010年度
問No 問1
学部 商学部
カテゴリ 数と式 ・ 図形と計量 ・ 平面幾何 ・ 三角関数 ・ 微分法と積分法 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=147mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,emathP,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\ansbox#1{\setlength{\fboxsep}{1.5mm}\fbox{$#1$}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage}{\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}\makebox[2zw][c] {\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.7zw}\parbox{142mm}{\framebox[6.5mm][c]{ア}\makebox[19pt] [c]{~}\framebox[6.5mm][c]{オ}\ にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ. $ \\[4mm]% (\makebox[1.7mm][c]{1})\ \ \,整数a,\ b\ が2a+3b=42\ を満たすとき,\ \ abの最大値は\ \fbox{ア}\ である.\\[4mm]% (\makebox[1.7mm][c]{2})\ \ \,{三角形\mathrm{ABCにおいて,\hspace*{3pt}AB=2, \hspace*{3pt}BC=1,\hspace*{3pt}CA=\sqrt{2}\hspace*{3pt}とし,\hspace*{3pt} \angle A=\alpha,\hspace*{2pt}\angle B}=\beta\hspace*{3pt}とする.}\\[1.5mm] \quad\ 正の整数m,\ nがm\alpha+n\beta=\pi\ を満たすとき,\ \ m=\,\fbox{イ} \hspace*{.5pt},\ n=\,\fbox{ウ}\ である.\\[4mm] (\makebox[1.7mm][c]{3})\ \ \,数列\{a_n\}は次の3つの条件を満たしている.\\[1mm] \quad\ \,\makebox[1.9zw][l]{(i)} \{a_n\}は等差数列で,\ その公差は0ではない.\\ [1mm]\quad\ \,\makebox[2zw][l]{(ii)} a_1=1 \displaystyle \\[1mm] \quad\ \,\makebox[2zw][l]{(iii)} 数列a_3,\ a_6,\ a_{10}\,は等比数列になって いる.\\[1mm]\quad\ このとき数列\{a_n\}の第2010項までの和\sum_{n=1}^{2010} a_n\,の値は\ \fbox{エ}\ である.$ \\[4mm]% (\makebox[1.7mm][c]{4})\ \ \,四面体ABCDは\ AB\,=\,BC\,=\,CD\,=\,DA\,=\,1\ を 満たす.このような四面体の体積の\\[1.5mm]\quad\ とり得る最大値は\ \fbox{オ}\ % である.} \end{FRAME} \quad \\ (1)\ \ $2a+3b=42\ を変形すると \\ \hspace*{6zw} 2\hspace*{.5pt}(a-21)=-3b \\[.5mm] \quad\, 2と3は互いに素であるから \\ \hspace*{6zw} a-21=3n,\ \ b=-2n \\[.5mm] \quad を満たす整数nが存在し,\displaystyle \\[.5mm] \hspace*{6zw} ab=-2n(3n+21)=-6(n^2+7n)=-6\Bigl(n+\frac{\,7\,}{2}\Bigr)^{\!2} +\frac{\,147\,}{2} \\[2mm] \quad -\frac{\,7\,}{2}=-3-\frac{1}{\,2\,}\,より \\[1mm]\hspace*{6zw} n=-3\ または\hspace*{1pt}-4\ のとき最大値\ \underset{(ア)}{\ansbox{72}} \\ [-1mm]\quad をとる。$ \newpage\noindent (2)\ \ 余弦定理より $\displaystyle \\[1mm] \hspace*{6zw} \cos\alpha=\frac{\,4+2-1\,}{2\ten 2\ten\sqrt{\,2\,}} =\frac{5}{\,4\sqrt{\,2\,}\,} \\[1.5mm]\hspace*{6zw} \cos\beta=\frac{\,4+1-2\,}{2\ten 2\ten 1}=\frac{3}{\,4\,} \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \cos(\pi-\alpha-\beta)=\frac{\,1+2-4\,} {2\ten 1\ten\sqrt{\,2\,}}=-\frac{1}{\,2\sqrt{\,2\,}\,} \\[3mm] \quad 補角の公式より \\[1mm] \hspace*{6zw} \cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{\,2\sqrt{\,2\,}\,} \\[2mm] \quad\, 2倍角の公式より \\[.5mm] \hspace*{6zw} \cos 2(\alpha+\beta)=2\cos^2 (\alpha+\beta)-1=2\times\frac{1} {\,8\,}-1=-\frac{\,3\,}{4} \\[2mm] \quad 補角の公式より\\ \hspace*{6zw} \cos 2(\alpha+\beta)=-\cos\beta=\cos(\pi-\beta) \\[3mm] \quad\,0<\alpha<\frac{\,\pi\,}{2},\ \,0<\beta<\frac{\,\pi\,}{2}\,と \cos(\alpha+\beta)>0をあわせて \\[1.8mm] \hspace*{6zw} 0<\alpha+\beta<\frac{\,\pi\,}{2} \\[2.4mm] \quad であるから \\[1mm]\hspace*{6zw} 0<2(\alpha+\beta)<\pi,\ \,\frac{\,\pi\,}{2}<\pi-\beta<\pi \\[1.5mm] \quad であり,\ \ 0\leqq\theta\leqq\pi\ において\cos\theta\,は単調減少である から,\\ \hspace*{6zw} 2(\alpha+\beta)=\pi-\beta \\[1mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ \underset{(イ)} {\ansbox{2}}\,\alpha+\underset{(ウ)}{\ansbox{3}}\,\beta=\pi \\[3mm] \ \ \textbf{\paalen{別解}}\ \ 頂点\mbox{Aから直線BCにおろした垂線の足をH}とし, \\ \qquad \mbox{CH}=xとおく。\ \,\triangle\mathrm{ABHおよび\triangle ACH}に おいて \\ \qquad 三平方の定理より \\ \hspace*{7zw} 2^2-(1+x)^2=(\sqrt{\,2\vphantom{,}\,}\,)^2-x^2 \\ \hspace*{7zw} 3-2x=2 \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \therefore\,\ x=\mbox{CH}=\frac{1}{\,2\,} \hspace*{14zw} \begin{picture}(0,0) \path(90,79)(0,0)(90,0)(90,79)(60,0) \path(85,0)(85,5)(90,5) \put(86,82){A} \put(-10,-5){B} \put(56,-10){C} \put(93,-5){H} \put(74,59){$\alpha$} \put(90,79){\arc{30}{1.95}{2.4}} \put(0,0){\arc{30}{-.7}{0}} \put(17,5) {$\beta$} \put(60,0){\arc{22}{-1.2}{0}} \put(69,10){$\alpha\!+\!\beta$} \end{picture} \\[2mm] \qquad\mbox{そこで,直線BC上にAC\,=\,ADとなる点D}\\ \qquad をとると,\\ \hspace*{6zw} \angle\hspace*{1pt}\mathrm{ADC=\angle\hspace*{1pt}ACD}=\alpha+\beta \\[2mm] \qquad\mbox{CH\,=\,DH}=\frac{1}{\,2\,}\,より\\[2mm] \hspace*{7zw} \mathrm{BD=BC+CH+DH}=2 \\[.3mm] \qquad であるから,\\ \hspace*{7zw} \mathrm{AB=BD} \\ \hspace*{6zw} \therefore\,\ \angle\hspace*{1pt}\mathrm{BAD =\angle\hspace*{1pt}ADB}=\alpha+\beta \\[.5mm] \qquad よって,\ \ \triangle\mbox{ABD}の内角について \hspace*{10zw} \begin{picture}(0,0) \path(90,0)(90,79)(60,0)(120,0)(90,79)(0,0)(60,0) \path(85,0)(85,5)(90,5) \put(86,82){A} \put(-10,-5){B} \put(56,-10){C} \put(86,-10){H} \put(123,-5){D} \put(74,59){$\alpha$} \put(90,79){\arc{30}{1.95}{2.4}} \put(0,0){\arc{30}{-.7}{0}} \put(17,5){$\beta$} \put(60,0){\arc{20}{-1.2}{0}} \put(60,0){\arc{24}{-1.2}{0}} \put(120,0){\arc{20}{3.14}{4.34}} \put(120,0){\arc{24}{3.14}{4.34}} \put(70,11){$\alpha\!+\!\beta$} \end{picture} \\[.8mm] \hspace*{6zw} 2(\alpha+\beta)+\beta=\underset{(イ)} {\ansbox{2}}\,\alpha+\underset{(ウ)}{\ansbox{3}}\,\beta=\pi \\[7mm] \raisebox{.5pt}{(3)}\ \ 条件\raisebox{.5pt}{(\makebox[2mm][c]{i}),\ % (\makebox[2mm][c]{ii})}より \\ \hspace*{6zw} a_n=1+(n-1)d \quad \paalen{dは0でない定数} \\[.5mm] \quad と表され,条件\raisebox{.5pt}{(\makebox[2mm][c]{i\hspace*{-.5pt}i\hspace* {-.5pt}i})}より\ {a_6^{}\!}^2=a_3^{}\hspace*{1pt}a_{10}^{}\,であるから \\[.5mm] \hspace*{6zw} (5d+1)^2=(2d+1)(9d+1) \\ \hspace*{5zw} \therefore\,\ 7d^2-d=d(7d-1)=0 \\[.5mm] \quad\, d\neq 0より \\[1mm] \hspace*{6zw} d=\frac{1}{\,7\,} \hspace*{3zw} \therefore\,\ d=1+\frac{1}{\,7\,}(n-1)=\frac{1}{\,7\,}n+\frac{6}{\,7\,} \\[2mm] \quad このとき,\textstyle \\[1.5mm]\hspace*{6zw} \sum\limits_{n=1}^{2010} a_n=\dfrac{\,2010\,}{2}(a_1^{}+a_{2010}^{}) =1005\times(1+288)=\underset{(エ)}{\ansbox{290445}} \\[7mm] (4)\ \ \,\mbox{ACの中点をM}とし,\ \ \mathrm{AM=CM}=x\ (\makebox[49pt][c]{$0<x<1$})とおく。\\ \quad\mathrm{\,AB=BC,\ \,CD=DA}より \\ \hspace*{6zw} \mathrm{AC\!\perp\!BM,\ \,AC\!\perp\!DM} \\[-3mm] \hspace*{33zw} \begin{picture}(0,0) \path(-50,0)(50,0)(0,30)(-50,0)(0,-30)(50,0) \path(0,30)(0,-30) \put(-4,32){A} \put(-59,-4){B} \put(-4,-40){C} \put(52,-4){D} \put(-10,3){\small M} \allinethickness{.2pt} \Hen_ko<.5>{(0,30)}{(-50,0)}{1} \Hen_ko<.5>{(-50,0)}{(0,-30)}{1} \Hen_ko<.5>{(0,-30)}{(50,0)}{1} \Hen_ko<.5>{(50,0)}{(0,30)}{1} \Hen_ko<.3>{(0,0)}{(0,30)}{$x^{\vphantom{*}}_{\vphantom{*}}$} \Hen_ko<.3>{(0,-30)}{(0,0)}{$x^{\vphantom{*}}_{\vphantom{*}}$} \end{picture} \\[-2.5mm] \quad であるから,直角三角形\mbox{ABM,\ \,ADM}に三平方の\\ \quad 定理を適用して \displaystyle \\[.2mm] \hspace*{6zw} \mathrm{\overline{BM}=\overline{DM}}=\sqrt{\,1-x^2\,} \\[.3mm] \qquad\,\angle\hspace*{1pt}\mathrm{BMD=\theta\ (0<\theta<\pi)とおくと,平面BDM は辺AC}と垂直であることに注意し\\ \quad て,四面体\mbox{ABCD}の体積Vは\\[1.5mm] \makebox[72pt][r]{$V$}=\frac{1}{\,3\,}\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\ten \mathrm{\overline{BM}\ten\overline{DM}\sin\theta\Bigr)\overline{AC}} \\ [1.5mm]\hspace*{72pt} =\frac{1}{\,3\,}\Bigl(\frac{1}{\,2\,}(1-x^2) \sin\theta\Bigr)\ten 2x=\frac{1}{\,3\,}(x-x^3)\sin\theta \\[2mm] \quad\, \theta\,とxは独立であるから,\ \ xを固定すると\ \theta=\frac{\,\pi\,} {2}\,のとき最大となり,\\[1.2mm] \hspace*{6zw} V=\frac{1}{\,3\,}(x-x^3) \quad (0<x<1) \\[1.5mm] \quad として最大値を求めればよい。\\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{\,dV\,}{dx}=\frac{1}{\,3\,}(1-3x^2)=-\Bigl(x+\frac{1} {\sqrt{\,3\,}\,}\Bigr)\Bigl(x-\frac{1}{\sqrt{\,3\,}\,}\Bigr) \\[1mm] \hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccc|} \hline\tabtopsp{1.5mm} x & (0) & &\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\sqrt{\,3\,}\,} & & (1) \\[2.5mm] \hline\tabtopsp{2mm} \dfrac{\,\raisebox{-.5mm}{$dV$}\,}{dx} & & + & 0 & - & \\[2.5mm]\hline V & & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \hline \end{array} \\ \hspace*{5zw} \therefore\,\ x=\frac{1}{\sqrt{\,3\,}\,}のとき最大値\ \frac{1} {\,3\,}\biggl(\frac{1}{\sqrt{\,3\,}\,}-\frac{1}{\,3\sqrt{\,3\,}\,}\biggr) =\ansbox{\dfrac{\,2\sqrt{\,3\,}\,}{27}}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(オ)} $ \end{document}