京都大学 理系甲 2010年度 問2

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 理系甲
年度 2010年度
問No 問2
学部 医 ・ 教育(理)
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad 四面体ABCDにおいて$\VEC{CA}$と$\VEC{CB}$,$\VEC{DA}$と$\VEC{DB}$, $\VEC{AB}$と$\VEC{CD}$はそれぞれ垂直であるとする.このとき,頂点A,頂点B および辺CDの中点Mの3点を通る平面は辺CDと直交することを示せ. \end{FRAME} %kai \begin{minipage}{\linewidth-15zw} \quad $\VEC{MA}=\Vec{a}$,$\VEC{MB}=\Vec{b}$,$\VEC{MC}=\Vec{c}$とおくと,Mは CDの中点だから$\VEC{MD}=-\Vec{c}$. $\VEC{CD}\heiko\Vec{c}$であり$\Vec{a}\Not{\heiko}\Vec{b}$だから, $\text{(平面ABM)}\suichoku\hen{CD}$であるためには, $\Vec{a}\suichoku\Vec{c}$,$\Vec{b}\suichoku\Vec{c}$,つまり $\Vec{a}\cdot\Vec{c}=\Vec{b}\cdot\Vec{c}=0$を示せばよい. \quad $\VEC{CA}\suichoku\VEC{CB}$,$\VEC{DA}\suichoku\VEC{DB}$, $\VEC{AB}\suichoku\VEC{CD}$だから, \begin{align} &(\Vec{a}-\Vec{c})\cdot(\Vec{b}-\Vec{c})=0\notag\\ &\yue \Vec{a}\cdot\Vec{b}+\abs{\Vec{c}}^2=\Vec{a}\cdot\Vec{c}+\Vec{b}\cdot\Vec{c}\Tag{\maru{1}} \end{align} \end{minipage}\qquad \parbox{15zw}{\input{10otu1fig1.tex}} \begin{align} \iffalse &(\Vec{a}-\Vec{c})\cdot(\Vec{b}-\Vec{c})=0\notag\\ &\yue \Vec{a}\cdot\Vec{b}+\abs{\Vec{c}}^2=\Vec{a}\cdot\Vec{c}+\Vec{b}\cdot\Vec{c}\Tag{\maru{1}}\\ \fi &(\Vec{a}+\Vec{c})\cdot(\Vec{b}+\Vec{c})=0\notag\\ &\yue \Vec{a}\cdot\Vec{b}+\abs{\Vec{c}}^2=-(\Vec{a}\cdot\Vec{c}+\Vec{b}\cdot\Vec{c})\Tag{\maru{2}}\\ &(\Vec{b}-\Vec{a})\cdot(-2\Vec{c})=0\notag\\ &\yue\Vec{a}\cdot\Vec{c}=\Vec{b}\cdot\Vec{c}\Tag{\maru{3}} \end{align} \maru{1}と\maru{2}から$\Vec{a}\cdot\Vec{c}+\Vec{b}\cdot\Vec{c}=0$であり, これと\maru{3}から$\Vec{a}\cdot\Vec{c}=\Vec{b}\cdot\Vec{c}=0$となり,し たがって題意が示された.\\ \owari \medskip \begin{minipage}{\linewidth-15zw} \betu\\ \quad ABの中点をNとする.\sankaku{ABC},\sankaku{ABD}はそれぞれ $\kaku{C}$,\kaku{D}が直角の直角三角形だから, $\hen{NC}=\Frac{1}{2}\hen{AB}=\hen{ND}$.したがって,\sankaku{NCD}は底辺 がCDの二等辺三角形であり,MはCDの中点だから$\hen{NM}\suichoku\hen{CD}$である.これと$\hen{AB}\suichoku\hen{CD}$から,$\text{(平面ABM)}\suichoku\hen{CD}$である.\\ \owari \end{minipage}\qquad \parbox{15zw}{\input{10otu1fig2.tex}} %\betu %\chu \end{document}