センター試験 数学Ⅱ・B 1999年度 問2

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 1999年度
問No 問2
学部
カテゴリ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt {\large \gt{第2問}}(配点 \; 30)\\ \quad 放物線$y=-x^2+2x$を$C_1$とし,$C_1$上に点P$(a,\,-a^2+2a)$をとる。ただし,$a$は$0<a<2$を満たす定数とする。 \BK{\kakkoichi} Pにおける$C_1$の接線$\ell_1$の方程式は \[\h y=\FBA{ア}\SK{\FBA{イ}-\FBA{ウ}}x+a^{\;\FBD{エ}}\] である。原点Oにおける$C_1$の接線を$\ell_2$とすると,$\ell_1$と$\ell_2$との交点Qの座標は$\SK{\dfrac{\FBA{オ}}{\FBA{カ}},\,\FBA{キ}}$である。 \EK \BK{\kakkoni} 直線$x=\dfrac{\FBAS{オ}}{\FBAS{カ}}$,$\ell_2$および$C_1$で囲まれた図形の面積$S_1$は \[\h S_1=\frac{a^{\;\FBD{ク}}}{\FBA{ケコ}}\] である。 \EK \BK{\kakkosan} 放物線$y=px^2+qx+r$を$C_2$とする。$C_2$が3点O,P,Qを通るとき,$p=\FBA{サシ}$,$q=a+\FBA{ス}$,$r=\FBA{セ}$となる。\\ \quad このとき$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S_2$は \[\h S_2=\frac{a^{\;\FBD{ソ}}}{\FBA{タ}}\] である。したがって \[\h S_2=\FBA{チ}S_1\] が成り立つ。 \EK \end{jituwaku} \h\kai\quad\kakkoichib\quad $y=-x^2+2x$より$y'=-2x+2$であるから,点P$(a,\,-a^2+2a)$における$C_1$の接線$\ell_1$の方程式は \[y=(-2a+2)(x-a)-a^2+2a\] \[\yueni y=\bd{2}(\bd{1}-\bd{a})x+a\bd{^2}\GT{ア~エ}\] また原点Oにおける$C_1$の接線$\ell_2$の方程式は,$\ell_1$の式で$a=0$としたものであるから \[\ell_2:y=2x\] よって$\ell_1$と$\ell_2$の交点Qの$x$座標は \[2x=2(1-a)x+a^2 \Yueni x=\frac{a}{2} \quad(\nazenara\quad 0<a<2)\] ゆえに\quad Q$\SK{\bd{\dfrac{a}{2}},\,\bd{a}}\GT{オカキ}$ \ymawarikomi{14}{7}{4.5cm}{center1999-2b-2kaitou1.eps}{4cm}{30}% \kakkonib\quad $S_1$は右図の斜線部の面積であり \[S_1=\dint{0}{\frac{a}{2}}\CK{2x-(-x^2+2x)}dx\] \[\phantom{S_1}=\dint{0}{\frac{a}{2}}x^2dx\] \[\phantom{S_1}=\tint{\frac{1}{3}x^3}{0}{\frac{a}{2}}=\frac{a\bd{^3}}{\bd{24}}\GT{クケコ}\] \h\kakkosanb\quad 放物線$C_2:y=px^2+qx+r$が3点O$(0,\,0),\,$\\ P$(a,\,-a^2+2a),\,$Q$\SK{\dfrac{a}{2},\,a}$を通るとき \[r=0,\,-a^2+2a=a^2p+aq+r,\,a=\frac{a^2}{4}p+\frac{a}{2}q+r\] $a\neq0$に注意して,これらを$p,\,q,\,r$について解くと \[p=\bd{-2},\,q=a+\bd{2},\,r=\bd{0}\GT{サ~セ}\] ゆえに$C_2:y=-2x^2+(a+2)x$となり,右図の網目部の面積$S_2$は \[S_2=\dint{0}{a}\CK{-2x^2+(a+2)x-(-x^2+2x)}dx=-\dint{0}{a}x(x-a)dx=\frac{a\bd{^3}}{\bd{6}}\GT{ソタ}\] したがって\quad $S_2=\bd{4}S_1\GT{チ}$ \end{document}