東京医科歯科大学 前期 2008年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京医科歯科大学
学科・方式 前期
年度 2008年度
問No 問3
学部 医学部 ・ 歯学部 ・ 教養部
カテゴリ 関数と極限 ・ 微分法 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
解答には必要ありませんが、実際には:
  [式:…]
  [式:…]
と一意に決まりますね。
平賀 譲 さん 2010/05/16 03:05:53 報告
\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=138mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.6}} \end{picture}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.5zw}\parbox{130mm}{\ \ 微分可能な関数$f\hspace*{.5pt} (\makebox[8pt][c]{$x$})\,,\ \,g\hspace*{.5pt}(\makebox[8pt][c]{$x$})が 次の4条件を満たしている。\displaystyle \\[1.5mm] \makebox[4zw][r]{(a)\ \ \,}任意の正の実数xについてf\hspace*{.5pt} (\makebox[8pt][c]{$x$})\,\mbox{\Large$>$}\,0\,,\ \,g\hspace*{.5pt} (\makebox[8pt][c]{$x$})\,\mbox{\Large$>$}\,0 \\[1.5mm] \makebox[4zw][r]{(\makebox[2mm][c]{b})\ \ \,}任意の実数xについて f\hspace*{.5pt}(-\,x)=f\hspace*{.5pt}(\makebox[8pt][c]{$x$})\,,\ \, g\hspace*{.5pt}(-\,x)=-\,g\hspace*{.5pt}(\makebox[8pt][c]{$x$}) \\[1.5mm] \makebox[4zw][r]{(c)\ \ \,}任意の実数x,\ \,yについてf\hspace*{.5pt} (x\makebox[14pt][c]{+}y)=f\hspace*{.5pt}(\makebox[8pt][c]{$x$}) \makebox[7.5pt][c]{$f$}(\makebox[8pt][c]{$y$})+g\hspace*{.5pt}(\makebox[8pt] [c]{$x$})\makebox[7.5pt][c]{$g$}(\makebox[8pt][c]{$y$}) \\[1mm] \makebox[4zw][r]{(\makebox[2mm][c]{d})\ \ \,}\! \lim_{x\to 0} \frac{\,g\hspace*{1pt}(\makebox[8pt][c]{$x$})\,}{x}=2 \\[1.5mm] このとき以下の各問いに答えよ。\\[4mm] (\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ \,f\hspace*{.5pt}(\makebox[9pt][c]{0})\hspace* {1pt}およびg\hspace*{.5pt}(\makebox[9pt][c]{0})\hspace*{1pt}を求めよ。\\[4mm] (\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ \,\bigl\{f(x)\hspace*{1pt}\bigr\}^2-\bigl\{ g(x)\hspace*{1pt}\bigr\}^2\,を求めよ。\\[4mm] (\makebox[1.5mm][c]{3})\ \ \lim_{x\to 0} \frac{\,1-f\hspace*{.5pt}(\makebox[8pt][c]{$x$})\,}{x^2}\,を求めよ。\\[4mm] (\makebox[1.5mm][c]{4})\ \ \,f\hspace*{.5pt}(\makebox[8pt][c]{$x$})の 導関数をg\hspace*{.5pt}(\makebox[8pt][c]{$x$})を用いて表せ。\\[4mm] (\makebox[1.5mm][c]{5})\ \ \,曲線y=f\hspace*{.5pt}(\makebox[8pt][c]{$x$}) \makebox[7.5pt][c]{$g$}(\makebox[8pt][c]{$x$})\hspace*{1pt},\ \,直線x=a\ (a\,\mbox{\Large$>$}\,0)およびx軸で囲まれる図形の面積\\[1.5mm] \hspace*{1.2zw}が1のときf\hspace*{.5pt}(\makebox[8pt][c]{$a$})の値を求めよ。$} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\ (1)\ \ 条件\raisebox{.5pt}{(b)}より \\[-.5mm] \hspace*{6zw} g(-x)=-g(x) \\[.5mm] \quad\, x=0でも成り立つから \\[-.5mm] \hspace*{6zw} g(0)=-g(0) \hspace*{3zw} \therefore\ \,g(0)=0 \ \ \ (答) \\ [.5mm]\quad 条件\raisebox{.5pt}{(c)}の関係式においてy=0とすると \\ \hspace*{6zw} f(x)=f(x)f(0)+g(x)g(0)=f(x)f(0) \\ \hspace*{5zw} \therefore\ \, f(x)\{f(0)-1\}=0 \\ \quad 条件\raisebox{.5pt}{(a)}より,\ \ x>0においてf(x)>0であるから \\ \hspace*{7zw} f(0)=1 \ \ \ (答) \\[5mm] (2)\ \ 条件\raisebox{.5pt}{(c)}の関係式においてy=-xとすると,条件 \raisebox{.5pt}{(b)}より \\ \hspace*{6zw} f(0)=f(x)f(-x)+g(x)g(-x)=\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2 \\ \quad\raisebox{.5pt}{(1)}よりf(0)=1であるから,\\ \hspace*{6zw} \{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2=1 \ \ \ (答) \\[5mm] \raisebox{.5pt}{(3)\ \ (2)}より \\[-.5mm] \hspace*{6zw} 1-\{f(x)\}^2=-\{g(x)\}^2 \\[.5mm] \quad であるから,\ \ x\neq 0のとき \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{\,1-f(x)\,}{x^2}=\frac{1-\{f(x)\}^2}{\,x^2\{1+f(x)\}\,} =-\Bigl\{\frac{\,g(x)\,}{x}\Bigr\}^{\!2}\ten\frac{1}{\,1+f(x)\,} \\[2mm] \quad 条件\raisebox{.5pt}{(d)}およびf(x)の連続性より \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \lim_{x\to 0} \frac{\,1-f(x)\,}{x^2} =-\hspace*{1pt}\frac{4}{\,1+f(0)\,} \\[2mm] \quad\raisebox{.5pt}{(1)}よりf(0)=1であるから,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} \lim_{x\to 0} \frac{\,1-f(x)\,}{x^2}=-2 \ \ \ (答) \\[7mm] (4)\ \ 条件\raisebox{.5pt}{(c)}より \\ \hspace*{6zw} f(x+y)-f(x)=f(x)f(y)-f(x)+g(x)g(y) \\[.5mm] \quad\, y\neq 0のとき \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{\,f(x+y)-f(x)\,}{y}=-yf(x)\ten\frac{\,1-f(y)\,}{y^2} +g(x)\ten\frac{\,g(y)\,}{y} \\[2mm] \quad\, y\to 0とするとき,条件\raisebox{.5pt}{(d)}および\raisebox{.5pt}{(3)} より \\ \hspace*{6zw} f'(x)=-0\ten f(x)\ten(-2)+g(x)\ten 2=2g(x) \ \ \ (答) \\[5mm] \ \ \paalen{注}\ \ 微分可能性が仮定されているので,条件\raisebox{.5pt}{(c)}の 関係式を微分してもよい。\\ \hspace*{7zw} f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)\hspace*{.5pt}g(y) \\ \qquad の両辺をyで微分すると,\\ \hspace*{7zw} f'(x+y)=f(x)f'(y)+g(x)\hspace*{.5pt}g\hspace*{1pt}'(y) \\[.5mm] \qquad\,y=0を代入すると \\ \hspace*{7zw} f'(x)=f(x)f'(0)+g(x)\hspace*{.5pt}g\hspace*{1pt}'(0) \\[.5mm] \qquad \raisebox{.5pt}{(3)}および条件\raisebox{.5pt}{(d)}より \\[1mm] \hspace*{7zw} f'(0)=\lim_{x\to 0} \frac{\,f(x)-f(0)\,}{x}=\lim_{x\to 0} x\ten\frac{\,f(x)-1\,}{x^2}=0 \\[1.5mm] \hspace*{7zw} g\hspace*{1pt}'(0)=2 \\[.5mm] \qquad であるから,\\[-.5mm] \hspace*{8zw} f'(x)=2g(x) \ \ \ (答) \\[7mm] (5)\ \ f(0)g(0)=0,\ \,x>0においてf(x)g(x)>0であるから,曲線y=f(x)g(x),\\ \quad 直線x=aおよびx軸で囲まれた図形の面積Sは \\[1.5mm]\hspace*{6zw} S=\int_0^{\hspace*{.5pt}\mbox{\footnotesize$a$}}\! f(x)g(x)\,dx \\[2mm] \quad と表される。\ \ \raisebox{.5pt}{(4)}の結果を用いると \\[1.5mm] \hspace*{6zw} S=\frac{1}{\,2\,}\int_0^{\hspace*{.5pt}\mbox{\footnotesize$a$} }\! f(x)f'(x)\,dx=\frac{1}{\,2\,}\left[\,\frac{1}{\,2\,}f(x)^2\, \right]_0^{\mbox{\footnotesize$a$}}=\frac{\,f(a)^2-f(0)^2\,}{4} \\[2mm] \quad 仮定よりS=1であり,\ \ f(0)=1であるから \\ \hspace*{7zw} f(a)^2=5 \\ \quad 条件\raisebox{.5pt}{(a)}よりf(a)>0であるから \\ \hspace*{7zw} f(a)=\sqrt{\,5\,} \ \ \ (答) $ \end{document}