東京医科歯科大学 前期 2008年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京医科歯科大学
学科・方式 前期
年度 2008年度
問No 問2
学部 医学部 ・ 歯学部 ・ 教養部
カテゴリ 三角関数 ・ 数列 ・ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=135mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.6}} \end{picture}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.5zw}\parbox{130mm}{\quad\ \ 以下の各問いに答えよ。 ただし$tは0\,\mbox{\Large$<$}\,t\,\mbox{\Large$<$}\,\pi\,を満たす実数とする。 \displaystyle \\[2mm]% \ \ (\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ \ 次の等式を証明せよ。\\[1.5mm] \hspace*{3zw} \Bigl(\cos\frac{\raisebox{-.5mm}{$t$}}{\makebox[15pt][c]{2}} \Bigr)\!\Bigl(\cos\frac{\raisebox{-.5mm}{$t$}}{\makebox[15pt][c]{4}}\Bigr)\! \Bigl(\cos\frac{\raisebox{-.5mm}{$t$}}{\makebox[15pt][c]{8}}\Bigr) =\frac{\sin t}{\ \tabtopsp{0mm}8\sin\dfrac{\raisebox{-.5mm}{$t$}} {\makebox[15pt][c]{8}}\,} \\[3mm]% \ \ (\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ \ 次のように定義される数列\{a_{\hspace* {.8pt}n}\}の極限値\lim_{n\to\infty} a_{\hspace*{.8pt}n}\,をtを用いて表せ。\\[1.5mm] \hspace*{3zw} a_{\hspace*{.5pt}1}^{}=\cos\frac{\raisebox{-.5mm}{$t$}} {\makebox[15pt][c]{2}}\,,\qquad\ a_{\hspace*{.8pt}n}=a_{\hspace*{.8pt}n-1} \Bigl(\cos\frac{\raisebox{-.5mm}{$t$}}{\ 2^{\,n}\,}\Bigr) \quad\ \ (\hspace*{1pt}n=2\,,\ 3\,,\,\cdots\cdots) \\[4mm]% \ \ (\makebox[1.5mm][c]{3})\ \ \ 数列\{b_{\hspace*{.5pt}n}\}\,,\ \, \{c_{\hspace*{.5pt}n}\}を次のように定義する。\\[1.5mm] \hspace*{3zw} b_{\hspace*{.5pt}1}^{}=\sqrt{\frac{\raisebox{-.5mm}{1}} {\makebox[15pt][c]{2}}}\,,\qquad\ b_{\hspace*{.5pt}n}=\sqrt{\dfrac{\ 1 \hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}b_{\hspace*{.5pt}n-1}\,}{2}} \quad\ \ (\hspace*{1pt}n=2\,,\ 3\,,\,\cdots\cdots) \\[1.5mm]\hspace*{3zw} c_{\hspace*{.5pt}1}^{}=\sqrt{\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\makebox[15pt][c]{2} }}\,,\qquad\ c_{\hspace*{.5pt}n}=c_{\hspace*{.5pt}n-1}\,b_{\hspace*{.5pt}n} \quad\ \ (\hspace*{1pt}n=2\,,\ 3\,,\,\cdots\cdots) \\[2.5mm] \qquad このとき\lim_{n\to\infty} c_{\hspace*{.5pt}n}\,を求めよ。$} \end{FRAME} \quad \\ (1)\ \ 2倍角の公式より $\displaystyle \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \Bigl(\cos\frac{t}{\,2\,}\Bigr)\!\Bigl(\cos\frac{t}{\,4\,} \Bigr)\!\Bigl(\cos\frac{t}{\,8\,}\Bigr)\ten 8\sin\frac{t}{\,8\,} \\[1.5mm] \hspace*{6zw} =4\Bigl(\cos\frac{t}{\,2\,}\Bigr)\!\Bigl(\cos\frac{t}{\,4\,} \Bigr)\ten 2\sin\frac{t}{\,8\,}\cos\frac{t}{\,8\,} \\[1.5mm] \hspace*{6zw} =4\Bigl(\cos\frac{t}{\,2\,}\Bigr)\!\Bigl(\cos\frac{t}{\,4\,} \Bigr)\sin\frac{t}{\,4\,} \\[1.5mm] \hspace*{6zw} =\Bigl(2\cos\frac{t}{\,2\,}\Bigr)\ten 2\sin\frac{t}{\,4\,} \cos\frac{t}{\,4\,}=2\cos\frac{t}{\,2\,}\sin\frac{t}{\,2\,}=\sin t \\[2mm] \hspace*{5zw} \therefore\ \, \Bigl(\cos\frac{t}{\,2\,}\Bigr)\! \Bigl(\cos\frac{t}{\,4\,}\Bigr)\!\Bigl(\cos\frac{t}{\,8\,}\Bigr) =\frac{\sin t}{\,\tabtopsp{0mm}8\sin\dfrac{\raisebox{-.4mm}{$t$}}{\,8\,}\,} \\[-3.5mm] \hfill \paalen{証明おわり} \\[3mm] \raisebox{.5pt}{(2)\ \ (1)}を参考にすると,\\[.5mm] \hspace*{8zw} a_n=\frac{\sin t}{\,\tabtopsp{0mm}{2_{}}^n \sin\dfrac{\raisebox{-.4mm}{$t$}}{\,{2_{}}^n}\,} \\[1.5mm] \quad であると予想される。これが正しいことをnについての数学的帰納法で示す。\\ \qquad\, 2倍角の公式より \\[.5mm]\hspace*{6zw} a_1^{}=\cos\frac{\raisebox{-.4mm}{$t$}}{\,2\,}=\frac{\,\raisebox{2mm}{$2\sin \dfrac{\raisebox{-.4mm}{$t$}}{\,2\,}\cos\dfrac{\raisebox{-.4mm}{$t$}}{\,2\,} $}\,}{\tabtopsp{0mm}2\sin\dfrac{\raisebox{-.4mm}{$t$}}{\,2\,}}=\frac{\sin t} {\,\tabtopsp{0mm}2\sin\dfrac{\raisebox{-.4mm}{$t$}}{\,2\,}\,} $ \newpage\noindent\quad となり,$n=1のとき成り立つ。\displaystyle \\[1.5mm] \hspace*{6zw} a_k^{}=\frac{\sin t}{\,\tabtopsp{0mm}{2_{}}^k \sin\dfrac{\raisebox{-.4mm}{$t$}}{\,{2_{}}^k}\,} \\[1.5mm] \quad が成り立つとすれば,\ \ 2倍角の公式より \\[1.5mm] \makebox[8zw][r]{$a_{k+1}^{}$}=\frac{\sin t}{\,\tabtopsp{0mm}{2_{}}^k \sin\dfrac{\raisebox{-.4mm}{$t$}}{\,{2_{}}^k}\,}\ten \cos\frac{\raisebox{-.4mm}{$t$}}{\,{2_{}}^{k+1}} \\[1mm]\hspace*{8zw} =\frac{\sin t\ten\cos\dfrac{\raisebox{-.4mm}{$t$}}{\,{2_{}}^{k+1}}} {\,\tabtopsp{0mm}{2_{}}^k\ten 2\sin\dfrac{\raisebox{-.4mm}{$t$}}{\,{2_{} }^{k+1}}\cos\dfrac{\raisebox{-.4mm}{$t$}}{\,{2_{}}^{k+1}}\,} \\[1.5mm] \hspace*{8zw} =\frac{\sin t}{\,\tabtopsp{0mm}{2_{}}^{k+1} \sin\dfrac{\raisebox{-.4mm}{$t$}}{\,{2_{}}^{k+1}}\,} \\[2mm] \quad も成り立つから,上の予想は正しい。\\[2mm] \qquad \lim_{n\to\infty} \frac{t}{\,{2_{}}^n}=0,\ \ \lim_{\theta\to 0} \frac{\,\sin\theta\,}{\theta}=1\ より \\[1mm] \hspace*{6zw} \lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} \frac{\raisebox{2mm}{$\dfrac{\raisebox{-.4mm}{$t$}}{\,{2_{}}^n}$}} {\,\tabtopsp{0mm}\sin\dfrac{\raisebox{-.4mm}{$t$}}{\,{2_{}}^n}\,} \ten\frac{\,\sin t\,}{t}=\frac{\,\sin t\,}{t} \ \ \ (答) \\[4mm] (3)\ \ b_1^{}=\frac{1}{\sqrt{\,2\,}\,}=\cos\frac{\,\pi\,}{4}=\cos\frac{\pi}{\, {2_{}}^2}\,であり,\ \ b_{k-1}^{}=\cos\frac{\pi}{\,{2_{}}^k}\,とすると \\[1mm] \hspace*{6zw} b_k^{}=\sqrt{\frac{\,1+\cos\dfrac{\raisebox{-.5mm}{$\pi$}} {\,2^k}\,}{2}}=\sqrt{\,\cos^2 \frac{\pi}{\,{2_{}}^{k+1}}} =\cos\frac{\pi}{\,{2_{}}^{k+1}} \\[2mm] \quad となるから,数学的帰納法により \\[1.5mm] \hspace*{6zw} b_n=\cos\frac{\pi}{\,{2_{}}^{n+1}} \\[2mm] \quad が成り立つ。\\[1.5mm] \hspace*{6zw} c_n=c_{n-1}b_n=c_{n-1}\cos\Bigl(\frac{1}{\,{2_{}}^n}\ten \frac{\pi}{\,2\,}\Bigr) \\[2mm] \quad であるから,\ \ \raisebox{.5pt}{(2)}において\ t=\frac{\pi}{\,2\,}\,と すると \\[1.5mm] \hspace*{7zw} c_n=a_n \\[.5mm] \quad であり,\ \ \raisebox{.5pt}{(2)}より \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \lim_{n\to\infty} c_n=\frac{\,\raisebox{2mm}{$\sin\dfrac{\raisebox{-.3mm} {$\pi$}}{\,2\,}$}\,}{\tabtopsp{-.5mm}\dfrac{\raisebox{-.3mm}{$\pi$}}{\,2\,}} =\frac{\,2\,}{\raisebox{.5mm}{$\pi$}} \ \ \ (答) $ \end{document}