東京医科歯科大学 前期 2008年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京医科歯科大学
学科・方式 前期
年度 2008年度
問No 問1
学部 医学部 ・ 歯学部 ・ 教養部
カテゴリ 図形と計量 ・ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=138mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,emathP,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.6}} \end{picture}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.5zw}\parbox{130mm}{\quad 座標空間内に5点 \\[5mm]% \quad P$(\,0\,,\ 0\,,\ h\hspace*{1pt})$,\ \ Q$(\,t\,,\ 0\,,\ 0\,) $,\ \,R$(\,0\,,\ t\,,\ 0\,)$,\ \ S$(-\,t\hspace*{1pt},\ 0\,,\ 0\,) $,\ \ T$(0\,,\,-\,t\hspace*{1pt},\ 0\,) \\[5mm]% をとる。ここでt\,,\ \,hは0\,\mbox{\Large$<$}\,t\,\mbox{\Large$<$}\,1\,, \ \,h\,\mbox{\Large$>$}\,0$を満たす実数である。また点 \\[1.5mm]% A(1\,,\ \,1\,,\ \,0)と点Qを結ぶ線分の長さは線分PQの長さと等しいとする。 このと \\[1.5mm]き以下の各問いに答えよ。\\[5mm]% (\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ 四角錐PQRSTの表面積を$tを用いて表せ。\\[5mm]% (\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ \,hをtを用いて表せ。\\[5mm]% (\makebox[1.5mm][c]{3})\ \ \,tが0\,\mbox{\Large$<$}\,t\,\mbox{\Large$<$} \,1$の範囲で変化するとき,四角錐PQRSTの体積の最大値を求\\[1.5mm]\quad めよ。} \end{FRAME} \quad \\ (1)\ \ QRの中点をMとおく。\\ \quad\,$\triangle$PQMにおいて三平方の定理より $ \\ \hspace*{6zw} \mathrm{PM^2=PQ^2-QM^2} \\ \quad 仮定より\mathrm{PQ=AQ}であるから \displaystyle \\ \makebox[85.5pt][r]{PM$^2$}=\mathrm{AQ^2-QM^2} \\[1mm]\hspace*{85.5pt} =(t-1)^2+(0-1)^2-\Bigl(\frac{t}{\sqrt{\,2\,}\,}\Bigr)^{\!2} \hspace*{4zw} \begin{picture}(0,0) \path(40,80)(0,0)(80,0)(40,80)(40,0) \path(36,0)(36,4)(40,4) \put(36,82){P} \put(-10,-4){Q} \put(82,-4){R} \put(36,-13){M} \allinethickness{.2pt} \Hen_ko<.5>{(0,0)}{(40,0)}{$\frac{t}{\sqrt{\,2\,}\,}$} \Hen_ko<.5>{(40,0)}{(80,0)}{$\frac{t}{\sqrt{\,2\,}\,}$} %\spline(0,0)(5,-5)(10,-8) \put(11,-11){$\frac{t}{\sqrt{\,2\,}\,}$} %\spline(30,-8)(35,-5)(40,0) \spline(40,0)(45,-5)(50,-8) %\put(51,-11){$\frac{t}{\sqrt{\,2\,}\,}$} \spline(70,-8)(75,-5)(80,0) \end{picture} \\[1mm] \hspace*{85.5pt} =\frac{1}{\,2\,}t^{\hspace*{.5pt}2}-2\hspace*{.5pt}t+2 =\frac{1}{\,2\,}(t-2)^2 \\[1.5mm] \quad\, 0<t<1を考えて \\[1.5mm] \hspace*{7zw} \mbox{PM}=\frac{\,2-t\,}{\sqrt{\,2\,}\,} \\[2mm] \quad 四角錐\mbox{PQRST}の表面積は \\[1.5mm]\makebox[18.5zw][r] {$\dfrac{1}{\,2\,}$\ten QR\ten PM$\times 4+\dfrac{1}{\,2\,}$\ten QS$^2$} =\frac{1}{\,2\,}\ten\sqrt{\hspace*{1pt}2\hspace*{1pt}}\,t\ten\frac{\,2-t\,} {\sqrt{\,2\,}\,}\ten 4+\frac{1}{\,2\,}\ten(2\hspace*{.5pt}t)^2 \\[1.5mm] \hspace*{18.5zw} =2\hspace*{.5pt}t\hspace*{1pt}(2-t) +2\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{.5pt}2} \\ \hspace*{18.5zw} =4\hspace*{.5pt}t \ \ \ (答) \\[5mm] (2)\ \ \mathrm{AQ=PQ}より \\ \hspace*{5zw} (t-1)^2+(0-1)^2=t^2+0^2+h^2 \hspace*{3zw} \therefore\ \, h=\sqrt{\,2-2\hspace*{.5pt}t\,} \ \ \ (答) \\[5mm] (3)\ \ 四角錐\mbox{PQRST}の体積Vは \\ \hspace*{6zw} V=\frac{1}{\,3\,}\ten\frac{1}{\,2\,}(2\hspace*{.5pt}t)^2 \sqrt{\,2-2\hspace*{.5pt}t\,}=\frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{3} \sqrt{\hspace*{1pt}t^{\hspace*{.5pt}4}-t^{\hspace*{.5pt}5}\,} \\[2mm] \quad\, f(t)=t^{\hspace*{.5pt}4}-t^{\hspace*{.5pt}5}\,とおくと\\[1mm] \hspace*{6zw} V=\frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{3}\sqrt{\hspace*{1pt}f(t)\,} \\ [1.5mm]\quad であり,\ \ f(t)の増減を調べるために微分すると \\[1mm] \hspace*{6zw} f'(t)=4\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{.5pt}3}-5\hspace*{.5pt} t^{\hspace*{.5pt}4}=-5\hspace*{.5pt}t^{\hspace*{.5pt}3}\Bigl(t-\frac{\,4\,} {5}\Bigr) \\[2mm]\hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccc|} \hline\tabtopsp{2mm} t & (0) & & \dfrac{\raisebox {-.4mm}{4}}{\,5\,} & & (1) \\[2mm]\hline f'(t) & & + & 0 & - & \\ \hline f(t) & & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \hline \end{array} \\[2mm] \quad よって,\ \ t=\frac{\,4\,}{5}\,のときVは極大かつ最大となり,最大値は \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{3}\sqrt{\hspace*{1pt}f\Bigl(\frac{4} {\,5\,}\Bigr)}=\frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{3}\Bigl(\frac{4}{\,5\,}\Bigr)^{\!2} \sqrt{\,1-\frac{\,4\,}{5}\,}=\frac{\,32\sqrt{\,10\,}\,}{375} \ \ \ (答) $ \end{document}