東京医科歯科大学 前期 2007年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京医科歯科大学
学科・方式 前期
年度 2007年度
問No 問3
学部 医学部 ・ 歯学部 ・ 教養部
カテゴリ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=138mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-1.2zw}\parbox{135mm}{\quad\ $ad-bc=1\,,\ \, a\,\mbox{\Large$>$}\,0を満たす整数a,\ \,b,\ \,c,\ \,dを考える。行列 \\[1mm] \quad\ \, A=\Biggl(\begin{array}{@{}c@{\quad}c@{}} 6 & 10 \\[2mm] 10 & 17 \end{array}\Biggr)\ ,\ \,B=\Biggl(\begin{array}{@{}c@{\quad\ }c@{}} 1 & 0 \\ [2mm] 0 & 2 \end{array}\Biggr)\ ,\ \,M=\Biggl(\begin{array}{@{}c@{\quad\ }c@{}} a & b \\[2mm] c & d \end{array}\Biggr)\ ,\ \,N=\Biggl(\begin{array}{@{}c@{\quad \ }c@{}} a & c \\[2mm] b & d \end{array}\Biggr) \\[1.5mm] \,\ がN\hspace*{-1pt}A=BM^{-1}\,を満たすとき,以下の各問いに答えよ。ただし, \ \ M^{-1}\,はMの逆\\[1mm]\,\ 行列を表す。\\[4mm]% \,\ (\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ \ 6\,a^2\hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}20\,ac \hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}17\,c^2\,の値を求めよ。\\[4mm]% \,\ (\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ \ 2\,a^2\hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}b^2\,の値を 求めよ。\\[4mm]% \,\ (\makebox[1.5mm][c]{3})\ \ \,a,\ \,b,\ \,c,\ \,dの値を求めよ。\\[4mm]% \,\ (\makebox[1.5mm][c]{4})\ \ \ 6\,x^2\hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}20\,xy \hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}17\,y^2=59を満たす実数x,\ \,yに対して \\[2mm] \hspace*{5.8zw} \Biggl\{\begin{array}{@{}l} X=dx\hspace*{1pt}+\hspace*{1pt} by \\[2mm]\hspace*{1pt} Y=-\hspace*{1pt}cx\hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}ay \end{array} \\[2mm] \quad\ \,とおくとき,\ \ X^2\hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}2\,Y^2\,の値を求めよ。\\[4mm] \,\ (\makebox[1.5mm][c]{5})\ \ \ 6\,x^2\hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}20\,xy \hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}17\,y^2=59を満たす整数の組\hspace*{1pt} \raisebox{1pt}{$(x,\ \,y)$}\hspace*{1pt}をすべて求めよ。$} \end{FRAME} \quad $ \\ (1)\ \ NAM=Bより \\[.5mm] \hspace*{6zw} \biggl(\hspace*{-4pt}\begin{array}{cc} a & c \\ b & d \end{array}\hspace*{-4pt}\biggr)\!\biggl(\hspace*{-4pt}\begin{array}{cc} 6 & 10 \\ 10 & 17 \end{array}\hspace*{-4pt}\biggr)\!\biggl(\hspace*{-4pt} \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\hspace*{-3pt}\biggr) =\biggl(\hspace*{-4pt}\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \hspace*{-4pt}\biggr) \\[1mm] \quad (1,\ 1)成分を比べると \\ \hspace*{7zw} 6\hspace*{.5pt}a^2+20\hspace*{.5pt}ac+17c^2=1\ \ \ (答)\\[4mm] (2)\ \ ad-bc=1であるから,逆行列の公式より \\[.5mm] \hspace*{6zw} M^{-1}=\biggl(\hspace*{-4pt}\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\hspace*{-4pt}\biggr),\ \ N^{-1}=\biggl(\hspace*{-4pt} \begin{array}{cc} d & -c \\ -b & a \end{array}\hspace*{-4pt}\biggr) \\[1mm] \quad\, A=N^{-1}BM^{-1}\,より \\[.5mm] \hspace*{6zw} \biggl(\hspace*{-4pt}\begin{array}{cc} 6 & 10 \\ 10 & 17 \end{array}\hspace*{-4pt}\biggr)=\biggl(\hspace*{-4pt}\begin{array}{cc} d & -c \\ -b & a \end{array}\hspace*{-4pt}\biggr)\!\biggl(\hspace*{-4pt} \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\hspace*{-4pt}\biggr)\! \biggl(\hspace*{-4pt}\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a\end{array} \hspace*{-4pt}\biggr) \\[1mm] \quad (2,\ 2)成分を比べると \\ \hspace*{7zw} 2\hspace*{.5pt}a^2+b^{\hspace*{.5pt}2}=17 \ \ \ (答) \\[4mm] \raisebox{.5pt}{(3)\ \ (2)}およびa>0を満たす整数a,\ bを求めると \\ \hspace*{7zw} (a,\ b)=(2,\ \pm\,3) \\[.5mm] \quad \raisebox{.5pt}{(1)}より \\[-1mm] \hspace*{7zw} 17c^2+40\hspace*{.5pt}c+23=(c+1)(17c+23)=0 \\[.5mm] \quad\, cは整数であるから \\[-.5mm] \hspace*{8zw} c=-1 \\[.5mm] \quad\raisebox{.5pt}{(2)}の行列の等式において(1,\ 1)成分を比べると \\ \hspace*{6zw} 2c^2+d^2=6 \hspace*{3zw} \therefore\ \, d=\pm\,2 \\ \quad\, ad-bc=2d+b=1\ を考えあわせると \\ \hspace*{7zw} a=2,\ \,b=-3,\ \,c=-1,\ \,d=2 \ \ \ (答) \\[4mm] \raisebox{.5pt}{(4)\ \ (3)}の結果を踏まえると \\ \hspace*{6zw} X=2x+3y,\ \ Y=x+2y\hfill\cdots\cdots\ (*)\hspace*{6zw}\\[.5mm] \quad であるから,\\ \hspace*{5zw} X^2+2Y^2=(2x+3y)^2+2(x+2y)^2=6x^2+20xy+17y^2=59 \ \ \ (答) \\[4mm] \raisebox{.5pt}{(5)\ \ (4)}より,\ \ 6x^2+20xy+17y^2=59を満たす整数に対して\, \raisebox{.5pt}{$(*)$}とおくと \\ \hspace*{7zw} X^2+2Y^2=59 \\ \hspace*{6zw} \therefore\ \,(X,\ Y)=(3,\ 5),\ \,(3,\ -5),\ \,(-3,\ 5),\ \, (-3,\ -5) \\[.5mm] \quad \raisebox{.5pt}{$(*)$}を解き直すと\ x=2X-3Y,\ \,y=-X+2Y\ であるから \\ \hspace*{7zw} (x,\ y)=(-9,\ 7),\ (21,\ -13),\ (-21,\ 13),\ (9,\ -7) \ \ \ (答) $ \end{document}