慶應義塾大学 医学部 2010年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 医学部
年度 2010年度
問No 問3
学部 医学部
カテゴリ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=148mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \oddsidemargin=2mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,emathP} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\maru#1{\raisebox{.7pt}{\textcircled{\raisebox{-.7pt}{\small#1}}}} \def\kobox#1{\raisebox{.5pt}{\framebox[14mm][c]{\small #1}}} \def\ansbox#1{{\fboxsep=1.2mm\fbox{$#1$}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[1.5zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \noindent\begin{tabular}{|c|} \hline\makebox[148mm][c]{} \\ \parbox{146mm}{\quad\textgt{以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成 させなさい。}\\[4mm]\quad 三角形が\makebox[1zw][c]{1}つと球がたくさん用意されている。 三角形の各頂点上には高々\makebox[1zw][c]{2}個の球を\\[1mm]置くことができるとし, 三角形上の頂点以外の位置には球を置くことはできないとする。\fboxsep=.8mm \\[1mm]% 三角形上に少なくとも1個の球が置かれている状態に対して次の操作Tを考える。\\[4mm]% \hspace*{3zw}\begin{picture}(300,157) \path(0,0)(364,0)(364,150)(0,150)(0,0) \Nuritubusi[0]{(-10,143)(17,143) (17,157)(-10,157)(-10,143)} \put(-16,146){\textbf{操作\hspace*{1pt}T}} \put(13,72){\parbox{338pt}{\makebox[3.2zw][l]{\raisebox{.5pt}{(\makebox[8pt] [c]{T}\makebox[7pt][c]{1})}}三角形上の球どれか1個を等しい確率で選ぶ。\\ [1.5mm]\makebox[5.8zw][l]{\raisebox{.5pt}{(\makebox[8pt][c]{T}\makebox[8pt] [c]{2})\quad(\makebox[7pt][c]{a})}}確率$\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}} {\makebox[1zw][c]{2}}$で,\raisebox{.5pt}{(\makebox[8pt][c]{T}\makebox[7pt] [c]{1})}\,により選ばれた球が置かれている頂点上\\[1.5mm]\hspace*{5.8zw}に 三角形外から球を1個加える。\\[1.5mm]\makebox[5.8zw][r]{\raisebox{.5pt} {(\makebox[7pt][c]{b})}\quad}確率$\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\makebox[1zw] [c]{4}}$ずつで,\raisebox{.5pt}{(\makebox[8pt][c]{T}\makebox[7pt][c]{1})}\,% により選ばれた球を隣の2つの頂点\\[1.5mm]\hspace*{5.8zw}のどちらかに移す。\\ [1mm]\makebox[3.3zw][l]{\raisebox{.5pt}{(\makebox[8pt][c]{T}\makebox[8pt] [c]{3})}}\raisebox{.5pt}{(\makebox[8.5pt][c]{T}\makebox[7.5pt][c]{2})}\,の 結果,\makebox[1zw][c]{1}つの頂点上に\makebox[1zw][c]{3}個の球が置かれた 場合は,その\\[1mm]\hspace*{3.3zw}3個目の球を直前にあった位置に戻す。}} \end{picture} \\[2mm]% \quad また,次の4つの状態を考える。\\[1mm]% \quad\makebox[1zw][c]{A}\raisebox{1pt}{:}\ \,2つの頂点上に2個ずつ球が置かれ, 1つの頂点上には何も置かれていない状態\\[1mm]\quad\makebox[1zw][c]{B}\raisebox {1pt}{:}\ \,1つの頂点上に2個の球が置かれ,2つの頂点上に1個ずつ球が置かれている 状態\\[1mm]\quad\makebox[1zw][c]{C}\raisebox{1pt}{:}\hspace*{2.5pt}三角形上に 合計5個の球が置かれている状態\\[1mm]\quad\makebox[1zw][c]{D}\raisebox{1pt}{:}% \hspace*{2.5pt}三角形上に合計6個の球が置かれている状態\\[1mm]% \quad い\hspace*{.5pt}ま,状態\makebox[14pt][c]{A}か\hspace*{.8pt}ら\hspace* {.8pt}始\hspace*{.8pt}め,操\hspace*{.5pt}作\makebox[14pt][c]{T}を\hspace* {.7pt}何\hspace*{.7pt}回\hspace*{.7pt}か\hspace*{.7pt}繰\hspace*{.7pt}り% \hspace*{.7pt}返\hspace*{.7pt}し\hspace*{.7pt}行\hspace*{.7pt}う。以\hspace* {.7pt}下,各\hspace*{.8pt}回\hspace*{.8pt}の\hspace*{.8pt}操\hspace*{.8pt}作% \hspace*{.8pt}を\hspace*{2.5pt}\raisebox{.5pt}{(\makebox[9pt][c]{T}% \makebox[8pt][c]{3})}\\[1mm]まで終えたときの状態のみに着目し,操作途中の状態を 考えないものとする。また,$nを\\[1mm]自然数とする。\\[4mm] \makebox[3zw][r]{(\makebox[1zw][c]{1})}\quad 操作\mbox{T}をn回繰り返し終えた とき,状態が\makebox[12pt][c]{A}である確率をa_n,\ \,状態が\makebox[12pt][c]{B} である\\[1mm]\hspace*{3zw}確率をb_n\,とする。\ \ a_1=\kobox{\paalen{あ}}\,,\ \, b_1=\kobox{\paalen{い}}\,である。さらに,\ \ n\geqq 2に対して\\[1mm] \hspace*{3zw} a_n,\ \,b_n\,をa_{n-1},\ \,b_{n-1}\,で表すと\\[2mm] \hspace*{12zw} \Biggl\{\,\begin{array}{@{}l} a_n=\kobox{\paalen{う}}\, a_{n-1}+\kobox{\paalen{え}}\,b_{n-1} \\[1mm] b_n=\kobox{\paalen{お}}\, a_{n-1}+\kobox{\paalen{か}}\,b_{n-1} \end{array} \\[2mm] \hspace*{3zw} である。これよりa_n-b_n,\ a_n+\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}} {\makebox[1zw][c]{2}}b_n\,をそれぞれnの式で表すとa_n-b_n=\kobox{\paalen{き}}\,, \\[1mm]\hspace*{3zw} a_n+\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\makebox[1zw][c]{2}}b_n =\kobox{\paalen{く}}\,である。$} \\ \\ \end{tabular} \newpage\noindent\begin{tabular}{|c|} \makebox[148mm][c]{} \\ \parbox{146mm}{\makebox[3zw][r]{(\makebox[1zw][c]{2})}\fboxsep=.8mm\quad 操作Tを$ n回繰り返し終えたとき初めて状態が\mbox{C}になる確率をc_n\,とする。\ \,c_n\,を\\[1mm] \hspace*{3zw}\, nの式で表すとc_n=\kobox{\paalen{け}}\,である。\\[4mm] \makebox[3zw][r]{(\makebox[1zw][c]{3})}\quad 操作\mbox{T}をn回繰り返し終えた とき初めて状態が\mbox{D}になる確率をd_n\,とする。\ \,n\geqq 3 \\[1mm] \hspace*{3zw} に対してd_n\,をnの式で表すと \displaystyle \\[2mm] \hspace*{16.4zw} d_n=\sum_{k=1}^{n-2}\,\kobox{\paalen{こ}} \\[2mm] \hspace*{3zw}である。$} \\ \\ \hline \end{tabular} \quad \\[2mm]% (\makebox[1zw][c]{1})\ \ 状態Aのとき操作Tにより状態Aとなるのは, \raisebox{.5pt}{(\raisebox{-.5pt}{T1})(a)}の操作がなされるか,\raisebox{.5pt} {(\raisebox{-.5pt}{T1})(b)}\\ \quad の操作において\ 2頂点のうち2個の球が置かれ ている方を選ぶ場合であるから,$ \\[1.5mm] \hspace*{6zw} a_1^{}=\dfrac{1}{\,2\,}+\dfrac{1}{\,4\,} =\ansbox{\dfrac{\,3\,}{4}}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(あ)} $ \\[2mm]% \quad 状態Aのとき操作Tにより状態Bとなるのは,\raisebox{.5pt}{(\raisebox{-.5pt} {T1})(b)}が適用されて何も置かれていな\\ \quad い隣の頂点に球を移す場合である から,$ \\[1.5mm]\hspace*{6zw} b_1^{}=\ansbox{\dfrac{1}{\,4\,}}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(い)} $ \\[2mm]% \qquad 頂点に置かれた球の総数が減ることはないから,操作Tにより状態Aまたは状態B に\\ \quad なるのは,状態Aまたは状態Bのときに限られることに注意する。\\ \qquad 状態Bのとき操作Tにより状態Aとなるのは,\raisebox{.5pt}{(\raisebox{-.5pt} {T1})(b)}が適用されて1球だけの2頂\\ \quad 点の一方の球が他方に移る場合であり, その確率は $ \\[1.5mm]\hspace*{6zw} \dfrac{2}{\,4\,}\times\dfrac{1}{\,4\,}=\dfrac{1}{\,8\,} \\[2mm] \quad であるから,\ \ \mathrm{A\to A}となる場合とあわせて \\[1.2mm] \hspace*{6zw} a_n=\underset{(う)}{\ansbox{\dfrac{3}{\,4\,}}}\,a_{n-1} +\underset{(え)}{\ansbox{\dfrac{1}{\,8\,}}}\,b_{n-1} \hfill \cdots\cdots\ \maru{1} \hspace*{6zw}\\[1.5mm] \quad$状態Bのとき操作Tにより状態A,\ B,\ Cのいずれかとなり,状態Cとなるのは% \raisebox{.5pt}{(\raisebox{-.5pt}{T1})(a)}\\ \quad が適用されて1球だけの頂点 の1つが2球となる場合であるから,状態Bのとき操作T\\ \quad により状態Bとなる確率は $\displaystyle \\[1.5mm]\hspace*{6zw} 1-\frac{2}{\,4\,}\times\frac{1}{\,2\,}-\frac{1}{\,8\,}=\frac{5}{\,8\,} \\ [2mm]\quad であり,\ \ \mathrm{B\to B}となる場合とあわせて \\[1.2mm] \hspace*{6zw} b_n=\underset{(お)}{\ansbox{\dfrac{1}{\,4\,}}}\,a_{n-1} +\underset{(か)}{\ansbox{\dfrac{5}{\,8\,}}}\,b_{n-1} \hfill \cdots\cdots\ \maru{2} \hspace*{6zw}\\[1.5mm] \quad \maru{1}かつ\maru{2}\,より \\[1mm]\makebox[98.4pt][r] {$a_n-b_n$}=\frac{\,3-1\,}{4}a_{n-1}+\frac{\,1-5\,}{8}b_{n-1} \\[1.5mm] \hspace*{98.4pt} =\underset{(き)}{\ansbox{\dfrac{1}{\,2\,}(a_{n-1}-b_{n-1})} } \hfill\cdots\cdots\ \maru{3} \hspace*{6zw}\\[3mm] \makebox[110pt][r]{$a_n+\dfrac{1}{\,2\,}b_n$}=\Bigl(\frac{3}{\,4\,}+\frac{1} {\,8\,}\Bigr)a_{n-1}+\Bigl(\frac{1}{\,8\,}+\frac{5}{\,16\,}\Bigr)b_{n-1} \\ [2mm]\hspace*{110pt} =\underset{(く)}{\ansbox{\dfrac{7}{\,8\,}\Bigl(a_{n-1} +\dfrac{1}{\,2\,}b_{n-1}\Bigr)}} \hfill\cdots\cdots\ \maru{4} \hspace*{6zw} \\[5mm](\makebox[1zw][c]{2})\ \ \maru{3}より,\ \ \{a_n-b_n\}は初項 a_1^{}-b_1^{}=\frac{3}{\,4\,}-\frac{1}{\,4\,}=\frac{1}{\,2\,},\ \,公比\, \frac{1}{\,2\,}\,の等比数列であるから \\[1.5mm] \hspace*{6zw} a_n-b_n=\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!n} \hfill \cdots\cdots\ \maru{5} \hspace*{6zw}\\[2mm] \quad \maru{4}より,\ \,\Bigl\{a_n+\frac{1}{\,2\,}b_n\Bigr\}\,は初項 a_1^{}+\frac{1}{\,2\,}b_1^{}=\frac{3}{\,4\,}+\frac{1}{\,8\,}=\frac{7}{\,8\,}, \ \,公比\,\frac{7}{\,8\,}\,の等比数列であるから \\[1.5mm] \hspace*{6zw} a_n+\frac{1}{\,2\,}b_n=\Bigl(\frac{7}{\,8\,}\Bigr)^{\!n} \hfill\cdots\cdots\ \maru{6} \hspace*{6zw}\\[2mm] \quad \maru{5}かつ\maru{6}\,を連立方程式として解くと\\[1.5mm] \hspace*{6zw} a_n=\frac{1}{\,3\,}\biggl\{2\Bigl(\frac{7}{\,8\,}\Bigr)^{\!n} +\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!n}\biggr\},\ \ b_n=\frac{2}{\,3\,}\biggl\{\! \Bigl(\frac{7}{\,8\,}\Bigr)^{\!n}-\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!n}\biggr\} \\[2mm]\quad\, n回目の操作後に初めて状態\mbox{C}になる確率c_n\,は\\[1.5mm] \hspace*{6zw} c_n=\frac{2}{\,4\,}\ten\frac{1}{\,2\,}\ten b_{n-1} =\underset{(け)}{\ansbox{\dfrac{1}{\,6\,}\biggl\{\!\Bigl(\dfrac{7}{\,8\,} \Bigr)^{\!n-1}-\Bigl(\dfrac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!n-1}\biggr\}}} \\[5mm] (\makebox[1zw][c]{3})\ \ n回目の操作後に状態\mbox{C}である確率をp_n\,とすると\\ \hspace*{6zw} p_n=p_{n-1}+c_n \\[.5mm] \quad\, n\geqq 2のとき \textstyle \\ \hspace*{6zw} p_n-p_1^{}=\sum\limits_{k=1}^{n-1} (p_{k+1}^{}-p_k^{})=\sum\limits_{k=1} ^{n-1} c_{k+1}^{}=\sum\limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{\,6\,} \biggl\{\!\Bigl( \dfrac{7}{\,8\,}\Bigr)^{\!k}-\Bigl(\dfrac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!k}\biggr\} \\ [2mm]\quad\, p_1^{}=0より \\ \hspace*{6zw} p_n=\sum\limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{\,6\,} \biggl\{\!\Bigl(\dfrac{7} {\,8\,}\Bigr)^{\!k}-\Bigl(\dfrac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!k}\biggr\} \\[2mm] \quad\, n\geqq 3のとき,\ \ n$回目の操作後に初めて状態Dになる確率$d_n\,は \\ [1mm]\hspace*{6zw} d_n=\dfrac{1}{\,5\,}\ten\dfrac{1}{\,2\,}\ten p_{n-1} =\sum\limits_{k=1}^{n-2} \underset{(こ)}{\ansbox{\dfrac{1}{\,60\,} \biggl\{\!\Bigl(\dfrac{7}{\,8\,}\Bigr)^{\!k} -\Bigl(\dfrac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!k}\biggr\}}} $ \end{document}