早稲田大学 商学部 2003年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 商学部
年度 2003年度
問No 問1
学部 商学部
カテゴリ 図形と計量 ・ 確率 ・ 微分法と積分法 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\ansbox#1{{\fboxsep=1.5mm\fbox{$#1$}}} \def\afrac#1#2{ \left(\dfrac{\,\mbox{\scriptsize #1}\,} {\,\mbox{\scriptsize #2}\,}\right) } \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage}{\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}\makebox[2zw][c] {\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\parbox{130mm}{\fboxrule=.6pt\fboxsep=1.5mm\quad\ \,\framebox[7mm][c] {ア}\ \,~\ \,\framebox[7mm][c]{チ}\ \,に入るべき数を,マーク解答用紙の該当する数字の 部分\\[2mm]\ \,に1つだけマークせよ.\ \,ただし,分数はすべて既約分数で答えよ. \\[4mm]% \,(1)\ \ \,数直線上を動く点Pが原点の位置にある.\ \ 1個のさいころを投げて,\\ [1mm]\quad\ 1,\,2,\,3,\,4の目が出たときにはPを正の向きに1だけ進め,5,\,6の目が出 \\ [1mm]\quad\ たときにはPを負の向きに1だけ進める.\ \ さいころを3回投げたとき,\\ [1mm]\quad\ Pの座標が正である確率は $\dfrac{\ \fbox{ア}\hspace*{-.6pt} \fbox{イ}\ }{\fbox{ウ}\hspace*{-.6pt}\fbox{エ}}\ である. \\[4mm] \,(2)\ \ \,q>0とする.\ \ xの3次方程式 \\[2mm] \hspace*{12zw} 2x^3-5qx^2+1=0 \\[-2mm] \quad\ が,少なくとも1つの正の解をもつようなqの最小値は\ \dfrac{\ \fbox{オ}\ } {\fbox{カ}}\ である.\\[3mm] \,(3)\ \ \,数列\ \{a_n\}\ が,\\[3mm]\hspace*{7.3zw} a_1=1,\ \ a_{n+1}=\dfrac{a_n}{\,a_n+1\,} \ \ (n=1,2,3,\cdots) \\[3mm] \quad\ で定義されているとき,\\[2mm] \hspace*{3zw} \sum\limits_{k=1}^{100} a_k\hspace*{.5pt}a_{k\hspace*{-.5pt}+\hspace*{-.5pt}1} =a_1\hspace*{1pt}a_2+a_2\hspace*{1pt}a_3+\cdots+a_{100}\hspace*{1pt}a_{101} =\dfrac{\ \fbox{キ}\hspace*{-.6pt}\fbox{ク}\hspace*{-.6pt}\fbox{ケ}\ } {\fbox{コ}\hspace*{-.6pt}\fbox{サ}\hspace*{-.6pt}\fbox{シ}}\,. \\[4mm] \,(4)\ \ 三角形\mathrm{ABCにおいて,\ \,AB=1,\ \,AC=2とする.\ \, \angle\hspace*{1pt}BAC}の2等分線 \\[1mm]\quad\ と辺\mathrm{BCの交点をDとし, \ \,\angle\hspace*{1pt}BAC}\ の大きさを\ 2\alpha\ とするとき,\\[2mm] \hspace*{14zw} \mbox{AD}=\dfrac{\ \fbox{ス}\ }{\fbox{ソ}}\cos\alpha. \\[4mm] \,(5)\ \ \,nを任意の正の整数とする.\ \ 1からnまでの正の整数の和をMとする\\[1mm] \quad\ とき,\ \ 25M+\fbox{ソ}\ は1から\ \fbox{タ}\,n+\fbox{チ}\ までの 正の整数の和である.$} \end{FRAME} \newpage\noindent (1)\ \ さいころを3回投げてPの座標が正となるのは,4以下の目が2回以上出ると\\ \quad きであるから,求める確率は $\displaystyle \\[1mm] \hspace*{6zw} \Bigl(\frac{2}{\,3\,}\Bigr)^{\!2}\times\frac{1}{\,3\,}\times {}_3\mbox{C}_2+\Bigl(\frac{2}{\,3\,}\Bigr)^{\!3} =\frac{\,\ansbox{20}\,}{\ansbox{27}} \!\afrac{アイ}{ウエ} \\[4mm] (2)\ \ f(x)=2x^3-5qx^2+1とおくと,\\[.5mm] \hspace*{6zw} f'(x)=6x^2-10qx=6x\Bigl(x-\frac{\,5\,}{3}q\Bigr) \\[1.5mm] \quad\, q>0を考え,\\[1mm]\hspace*{6zw} \begin{array}{|c|cccc|} \hline\tabtopsp{1.8mm} x & (0) & & \dfrac{\,\raisebox{-.5mm}{5}\,}{3}q & \\[2mm]\hline f'(x) & & - & 0 & + \ \\ \hline f(x) & & \searrow & 極小 & \nearrow\ \\ \hline \end{array} \\[1.5mm] \quad\, x>0におけるf(x)の値域 \\[1.5mm] \hspace*{6zw} f(x)\geqq f\Bigl(\frac{\,5\,}{3}q\Bigr) \\[2mm] \quad に\,\raisebox{.5pt}{$\bigl(f(x)=\bigr)$}\,0が含まれると考えて,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} f\Bigl(\frac{\,5\,}{3}q\Bigr) =\Bigl(\frac{\,5\,}{3}q\Bigr)^{\!3}(2-3)+1\leqq 0 \hspace*{3zw} \therefore\,\ q^3\geqq\Bigl(\frac{\,3\,}{5}\Bigr)^{\!3} \\[2mm] \quad\, q>0より \\[.5mm] \hspace*{7zw} q\geqq\frac{\,3\,}{5} \\[2mm] \quad これは実際にとり得る値の範囲を表すから \\[1mm]\hspace*{6zw} qの最小値は\,\frac{\,\ansbox{3}\,}{\ansbox{5}} \!\afrac{オ}{カ} \\[4mm] (3)\ \ 数学的帰納法によりa_n>0であることが示され,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{1}{\,a_{n+1}\,}=\frac{\,a_n+1\,}{a_n} =1+\frac{1}{\,a_n\,} \\[2mm] \quad より,\ \ \biggl\{\frac{1}{\,a_n\,}\biggr\}\,は初項\,\frac{1}{\,a_1\,}=1, \ \,公差1の等差数列であるから,\\[1.5mm]\hspace*{6zw} \frac{1}{\,a_n\,}=n \hspace*{3zw} \therefore\,\ a_n=\frac{1}{\,n\,} \\[2mm] \quad よって,求める和は \textstyle \\[-3mm]\hspace*{4.5zw} \sum\limits_{k=1}^{100}a_k^{}\hspace*{1pt}a_{k+1}^{}=\sum\limits_{k=1}^{100} \dfrac{1}{\,k(k+1)\,}=\sum\limits_{k=1}^{100} \Bigl(\dfrac{1}{\,k\,} -\dfrac{1}{\,k+1\,}\Bigr)=1-\dfrac{1}{\,101\,}=\dfrac{\,\overset{(キクケ)} {\ansbox{100}}\,}{ \underset{(コサシ)}{\ansbox{101}} } \\[4mm] (4)\ \ 面積公式を用いて,三角形\mbox{ABC}の面積を2通りに表すと \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \dfrac{1}{\,2\,}\ten 1\ten\mathrm{AD\ten\sin\alpha +\dfrac{1}{\,2\,}\ten 2\ten AD}\ten\sin\alpha =\dfrac{1}{\,2\,}\ten 1\ten 2\ten\sin 2\alpha \\[2mm] \quad\, 2倍角の公式より\\ \hspace*{6zw} \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha \\[.5mm] \quad であるから,\\[-3mm] \hspace*{6zw} (1+2)\times\mbox{AD}=2\times 2\cos\alpha \hspace*{3zw} \therefore\,\ \mbox{AD}=\dfrac{\,\overset{(ス)}{\ansbox{4}}\,} {\underset{(セ)}{\ansbox{3}}}\cos\alpha \\[4mm] (5)\ \ \fbox{ソ}\,,\ \fbox{タ}\,,\ \fbox{チ}\ は整数定数であるとして解くことに する。\\[1.5mm]\quad\,p=\fbox{タ}\,,\ \,q=\fbox{チ}\ とおくと,\\[2mm] \makebox[11.2zw][r]{$25M+\fbox{ソ}$}=\sum\limits_{k=1}^{pn+q}k \\[1.5mm] \hspace*{11.2zw} =\displaystyle\frac{1}{\,2\,}(pn+q)(pn+q+1) \\[1.5mm] \hspace*{11.2zw} =\frac{\,p^2}{2}n^2+\frac{\,2pq+p\,}{2}n +\frac{\,q^2+q\,}{2} \\[1.5mm]\hspace*{11.2zw} =\frac{\,p^2}{2}n(n+1)+\frac{\,2pq+p-p^2}{2}n+\frac{\,q^2+q\,}{2} \\[1.5mm] \hspace*{11.2zw} =p^2 M+\frac{\,p\,}{2}(2q+1-p)n+\frac{\,q^2+q\,}{2} \\[2mm] \quad 両辺を比べると\\ \hspace*{6zw} p^2=25 \,\ かつ \,\ 2q+1-p=0 \\[.5mm] \quad 任意の正の整数nに対してpn+q\geqq 1となることより,\ \ p>0であるから,\\ [1mm]\hspace*{6zw} p=\underset{(タ)}{\ansbox{5}}\,,\ \, q=\underset{(チ)}{\ansbox{2}} \\ \quad このとき,\\[1.5mm]\hspace*{6zw} \frac{\,q^2+q\,}{2}=\ansbox{3}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(ソ)} $ \end{document}