慶應義塾大学 薬学部 2008年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 薬学部
年度 2008年度
問No 問2
学部 薬学部(2008年以降)
カテゴリ 図形と方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \oddsidemargin=0mm \usepackage{amsmath,amssymb} \def\Vec#1{\overrightarrow{\mathstrut\hspace*{.5pt}\mathrm{#1}\hspace*{.5pt}}} \def\abs#1{\raisebox{1pt}{$\big|$}#1\raisebox{1pt}{$\big|$}} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\ansbox#1{{\fboxsep=1.5mm\fbox{$#1$}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[1zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \noindent\begin{tabular}{|c|} \hline\makebox[152mm][c]{} \\ \parbox{152mm}{\fboxrule=.8pt\fboxsep=.7mm\quad 以下の問の\ \fbox{ア}\,~\,% \fbox{サ}\ に当てはまる適切な数値またはマイナス符号\paalen{\raisebox{.5pt}{$-$}}を マークしなさい. $ \\[4mm]% \quad\,xy平\hspace*{1pt}面\hspace*{1pt}に\hspace*{1pt}お\hspace*{1pt}い\hspace* {1pt}て,\ \ \mbox{Oは\hspace*{1pt}原\hspace*{1pt}点,P}は\hspace*{1pt}曲\hspace* {1pt}線\ \ x^2+y^2=4\ \ (x\geqq 0,\ y\geqq 0)\ \ 上\hspace*{.5pt}を\hspace* {.5pt}点(2,\,0)か\hspace*{.5pt}ら \\[1mm]\hspace*{-.2zw} 点(0,\,2)まで\mbox{動 く点とする.\ \,OPを1\,\raisebox{.5pt}{:}\,2に内分する点をHとする.\ \,Hを通りOP} に垂直な直線\\[1mm]\hspace*{-.2zw}と放物線\ \ y=x^2-\dfrac{\,13\,}{3}\ \ との 交点で,\ \ x座標が正の交点を\mbox{Q}とする. \\[5mm]\hspace*{-.2zw} \makebox[2.2zw][l]{(1)}\mbox{Q}のx座標のとりうる値の範囲は\ \ \dfrac{\fbox{ア}} {\ \fbox{イ}\ }\leqq x\leqq\sqrt{\ \,\fbox{ウ}\ \,}\ \ である. \\[5mm] \hspace*{-.2zw}\makebox[2.2zw][l]{(2)} \triangle\mbox{OPQの面積が最小となる ときのQ}のx座標は\ \ \dfrac{\sqrt{\ \framebox[18mm][c]{エオカ}\ }\,}{\fbox{キ}} \ \ であり,\\[2mm]\hspace*{1.8zw}このときの\triangle\mbox{OPQ}の面積は\ \ \dfrac{\sqrt{\ \framebox[18mm][c]{クケコ}\ }\,}{\fbox{サ}}\ \ である. $} \\ \\ \hline \end{tabular} \quad \\[2mm]% (1)\ \ \ P$(2,\ 0)$のとき直線HQは$x=\dfrac{\,2\,}{3}$,\ \ P$(0,\ 2)$のとき直線 HQは$y=\displaystyle\frac{\,2\,}{3}\,であり,\\[2mm]\hspace*{6zw} x^2-\frac{\,13\,}{3}=\frac{\,2\,}{3}\,(x>0)\iff x=\sqrt{\,5\,} \\[2mm] \quad であるから,図形的に考えて,点\mbox{Q}のx座標のとりうる値の範囲は\\[1mm] \hspace*{8zw} \frac{\,\overset{(ア)}{\ansbox{2}}\,}{\underset{(イ)} {\ansbox{3}}}\leqq x\leqq \sqrt{\,\ansbox{5}\,} \\[-8mm] \hspace*{153.5pt} \overset{(ウ)}{} \\[5mm] (2)\ \ \angle\hspace*{1pt}\mbox{POQ}=\theta\ とおくと,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} \overline{\mbox{OP}}=2,\ \ \Vec{OP}\ten\Vec{\hspace*{.3pt}OQ} =\overline{\mbox{OP}}\ten\overline{\mbox{OQ}}\cos\theta=\overline{\mbox{OP}} \ten\overline{\mbox{OH}}=2\times\frac{\,2\,}{3} \\[1.5mm] \quad であるから,\ \ \triangle\mbox{OPQ}の面積Sは \\[1mm]\hspace*{6zw} S=\frac{1}{\,2\,}\sqrt{\,\abs{\Vec{OP}}^2\abs{\Vec{\hspace*{.3pt}OQ}}^2 -\bigl(\Vec{OP}\ten\Vec{\hspace*{.3pt}OQ}\bigr)^2\,}=\sqrt{\,\abs{ \Vec{\hspace*{.5pt}OQ}}^2-\Bigl(\frac{\,2\,}{3}\Bigr)^{\!2}\,} \\[2mm] \quad\raisebox{.5pt}{(1)}より\ \abs{\Vec{\hspace*{.3pt}OQ}}>x\raisebox{-3pt} {\scriptsize Q} \geqq \frac{\,2\,}{3}\,であることに注意すると,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} Sが最小 \iff \abs{\Vec{\hspace*{.3pt}OQ}}^2\,が最小 \\[.5mm] \quad である。\\[1.5mm] \qquad\mbox{Q}\Bigl(q,\ q^2-\frac{\,13\,}{3}\Bigr)\ \left(\frac{\,2\,}{3} \leqq q\leqq\sqrt{\,5\,}\right)とおくと,\\[1.5mm] \makebox[9zw][r]{$\abs{\Vec{\hspace*{.3pt}OQ}}^2$} =q^2+\Bigl(q^2-\frac{\,13\,}{3}\Bigr)^{\!2} \\[1.5mm] \hspace*{9zw} =q^4-\frac{\,23\,}{3}q^2+\Bigl(\frac{\,13\,}{3}\Bigr)^{\!2} \\ [2mm]\hspace*{9zw} =\Bigl(q^2-\frac{\,23\,}{6}\Bigr)^{\!2}\!-\Bigl( \frac{\,23\,}{6}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\,26\,}{6}\Bigr)^{\!2} \\[1.5mm] \hspace*{9zw} =\Bigl(q^2-\frac{\,23\,}{6}\Bigr)^{\!2}\!+\frac{\,147\,}{36} \\[2mm]\quad であるから,\ \ Sは \\[-2mm]\hspace*{6zw} q=\sqrt{\frac{\,23\,}{6}}=\frac{\overset{\hspace*{11pt}(エオカ)} {\sqrt{\,\ansbox{138}\,}}\,}{\underset{(キ)}{\ansbox{6}}}\,のとき最小値 \,\sqrt{\frac{\,147\,}{36}-\frac{\,4\,}{9}}=\frac{\overset{\hspace*{11pt} (クケコ)}{\sqrt{\,\ansbox{131}\,}}\,}{\underset{(サ)}{\ansbox{6}}} \\ \quad をとる。$ \end{document}