慶應義塾大学 薬学部 2008年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 薬学部
年度 2008年度
問No 問1
学部 薬学部(2008年以降)
カテゴリ 確率 ・ 式と証明 ・ 三角関数 ・ 微分法と積分法 ・ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb} \def\Vec#1{\overrightarrow{\mathstrut\hspace*{.5pt}\mathrm{#1}\hspace*{.5pt}}} \def\v#1{\overrightarrow{\mathstrut #1}} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\maru#1{\raisebox{.7pt}{\textcircled{\raisebox{-.7pt}{\small#1}}}} \def\ansbox#1{{\fboxsep=1.5mm\fbox{$#1$}}} \def\afrac#1#2{ \left(\dfrac{\,\mbox{\scriptsize #1}\,} {\,\mbox{\scriptsize #2}\,}\right) } \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[1zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1zw}\begin{tabular}{|c|} \hline\makebox[151mm][c]{} \\ \parbox{151mm}{\fboxrule=.8pt\fboxsep=.7mm\quad 以下の問の\ \fbox{ア}\,~\,% \fbox{ノ}\ に当てはまる適切な数値またはマイナス符号\paalen{\raisebox{.5pt} {$-$}}をマークしなさい. $ \\[3mm]% \hspace*{-.2zw}\makebox[2.2zw][l]{(1)}(\makebox[2mm][c]{i})\ \ \ x^5-1\ \ を \ \ x^2-1\ \ で割ったときの余りは\ \ \fbox{ア}\,x-\fbox{イ}\ \ である. \\[1mm] \qquad(\makebox[2mm][c]{(ii)}\ \ \ (x^5-1)^3\ \ を\ \ x^2-1\ \ で割ったときの 余りは\ \ \fbox{ウ}\,x-\fbox{エ}\ \ である. \\[5mm] \hspace*{-.2zw}\makebox[2.2zw][l]{(2)}\triangle\mbox{OAB}において,\ \ \Vec{OA}=\v{a},\ \,\Vec{OB}=\v{b}\ \ とする. \displaystyle \\[1mm] \qquad \bigl|\raisebox{-.7pt}{\large$\v{a}$}\bigr|=3,\ \,\bigl|\raisebox{-.7pt} {$\v{b}$}\bigr|=2,\ \,\bigl|\raisebox{-.7pt}{\large$\v{a}$}\hspace*{-1pt} -\raisebox{-.7pt}{2\hspace*{-1pt}$\v{b}$}\bigr|=\sqrt{7}\ \ のとき \\[2mm] \qquad(\makebox[2mm][c]{i})\ \ \,\v{a}\ten\v{b}の値は\ \ \frac{\ \fbox{オ}\ } {\fbox{カ}}\ \ である. \\[2mm] \qquad(\makebox[2mm][c]{ii})\ \ \,\triangle\mbox{OAB}の面積は\ \ \frac{\ \fbox{キ}\,\sqrt{\ \,\fbox{ク}\ \,}\,}{\fbox{ケ}}\ \ である. \\[5mm] \hspace*{-.2zw}\makebox[2.2zw][l]{(3)}大,中,小の3個のさいころを同時に投げる ときの目をそれぞれx,\ y,\ zとする. \\[2mm] \qquad(\makebox[2mm][c]{i})\ \ \,x\hspace*{.5pt}+\hspace*{.5pt}y\hspace*{.5pt}+ \hspace*{.5pt}z\hspace*{.5pt}\geqq\hspace*{.5pt}8\ \ となる確率は\ \ \,\frac{\ \framebox[19mm][c]{コサシ}\ }{\framebox[19mm][c]{スセソ}}\ \ である. \\[3mm] \qquad(\makebox[2mm][c]{ii})\ \ \,3x\hspace*{.5pt}+\hspace*{.5pt}2y\hspace* {.5pt}+\hspace*{.5pt}z\ \ の期待値は\ \framebox[14mm][c]{タチ}\ である.\\[5mm] \hspace*{-.2zw}\makebox[2.2zw][l]{(4)}次の等式を満たす関数f(x)は,\ \ x=1\ \ で最小値をとり,\ \ f(3)=7\ \ である. \\[1mm] \hspace*{3zw}\! \int_0^{\hspace*{1pt}x}\! \{f(t)+9\hspace*{.5pt}t\}\,dt =x^3+ax^2-bx \ \ \paalen{a,\ \,b\ は定数} \\[1mm]\qquad このとき,\ \ aの値は\ \ \frac{\ \fbox{ツ}\ }{\fbox{テ}},\ \ bの値は\ \fbox{ト}\ である. \\[5mm] \hspace*{-.2zw}\makebox[2.2zw][l]{(5)}xについての2次方程式\ \ 8x^2-4x-a=0\ \ \paalen{aは定数}\ \ の2つの解は\sin\theta,\ \cos\theta\,である. \\[1mm] \qquad このとき,\ \ aの値は\ \fbox{ナ}\ であり,\\[1mm] \hspace*{21pt} \frac{\,\sin^2 \theta+1\,}{\cos\theta}+\frac{\,\cos^2 \theta+1\,} {\sin\theta}\ \ の値は\ \ \frac{\ \framebox[19mm][c]{ニヌネ}\ }{\fbox{ノ}}\ \ である. $}\\ \\ \hline \end{tabular} \quad $ \\[2mm] (1)\,(\makebox[2mm][c]{i})\quad x^5-1=(x^2-1)Q_1(x)+ax+b \quad \paalen{Q_1(x)は 多項式,\ \ a,\ bは定数} \\ \quad\ \ とおくことができて,\ \ x=\pm\,1を代入すると \\ \hspace*{6zw} 0=a+b \,\ かつ \ -2=-a+b \hspace*{3zw} \therefore\,\ a=1,\ \,b=-1 \\ \quad\ \ よって,求める余りは \\[.5mm]\hspace*{8zw} ax+b=\underset{(ア)}{\ansbox{1}}\,x-\underset{(イ)}{\ansbox{1}} \\[2mm] \quad\ \,\paalen{別解}\ \ 直接割り算して \\ \hspace*{8zw} x^5-1=(x^2-1)(x^3+x)+\underset{(ア)}{\ansbox{1}}\,x -\underset{(イ)}{\ansbox{1}} \\[-1mm] \hspace*{3zw}と求める方が意外に早い。\\[4mm] \ \ (\makebox[2mm][c]{ii})\ \ \ (x^5-1)^3=(x^2-1)Q_2(x)+cx+d \quad \paalen{Q_2(x)は多項式,\ \ c,\ dは定数} \\ \quad\ \ とおくことができて,\ \ x=\pm\,1を代入すると \\ \hspace*{6zw} 0=c+d \,\ かつ \,\ (-2)^3=-c+d \hspace*{3zw} \therefore\,\ c=4,\ \,d=-4 \\ \quad\ \ よって,求める余りは\\ \hspace*{8zw} cx+d=\underset{(ウ)}{\ansbox{4}}\,x-\underset{(エ)}{\ansbox{4}} \\[2mm] \makebox[9.5zw][l]{\quad\ \,\paalen{別解}\ \ \,$(x^5-1)^3$}=\bigl\{ (x^2-1)(x^3+x)+x-1\bigr\}\hspace*{-1pt}\raisebox{5pt}{\scriptsize 3} \\ \hspace*{9.5zw} =(x^2-1)Q(x)+(x-1)^3 \ \ \ \paalen{Q(x)は多項式} \\ \hspace*{9.5zw} =(x^2-1)Q(x)+(x-1)(x^2-2x+1) \\ \hspace*{9.5zw} =(x^2-1)Q(x)+(x-1)\bigl\{(x+1)(x-3)+4\bigr\} \\ \hspace*{9.5zw} =(x^2-1)Q(x)+(x-1)(x+1)(x-3)+4(x-1) \\[1mm] \hspace*{9.5zw} =(x^2-1)\bigl\{Q(x)+x-3\bigr\}+\underset{(ウ)} {\ansbox{4}}\,x-\underset{(エ)}{\ansbox{4}} \\[4mm] (2)\,(\makebox[2mm][c]{i})\ \ |\v{a}-2\v{b}|=\sqrt{\,7\,}\ の両辺を平方して\\ [.5mm]\hspace*{6zw} |\v{a}|^2-4\v{a}\ten\v{b}+4\hspace*{1pt}|\v{b}|^2=7 \\ [.5mm]\quad\ \ |\v{a}|=3,\ \,|\v{b}|=2より\\ \hspace*{6zw} 9-4\v{a}\ten\v{b}+16=7 \hspace*{3zw} \therefore\,\ \v{a}\ten\v{b}=\dfrac{\,\ansbox{9}\,}{\ansbox{2}} \afrac{オ}{カ} \\[2mm] \ \ (\makebox[2mm][c]{ii})\ \ \triangle\mbox{OAB}の面積Sは \\[1.5mm] \makebox[6zw][r]{$S$}=\dfrac{1}{\,2\,}\sqrt{\,|\v{a}|^2|\v{b}|^2-\bigl( \v{a}\ten\v{b}\bigr)\hspace*{-1pt}\raisebox{5pt}{\scriptsize 2}\,}\\[-4.5mm] \hspace*{6zw} =\dfrac{1}{\,2\,}\sqrt{\,3^2\times 2^2-\Bigl(\dfrac{\,9\,} {2}\Bigr)^{\!2}\,}=\dfrac{1}{\,2\,}\ten\dfrac{\,3\,}{2}\sqrt{\,16-9\,} =\dfrac{\,\overset{(キ)}{\ansbox{3}}\overset{\hspace*{11pt}(ク)} {\sqrt{\,\ansbox{7}\,}}\,}{ \underset{(ケ)}{\ansbox{4}} } \\[5mm] (3)\ \ 3個のさいころを同時に投げるとき,目の出方は\ 6^3=216\ 通りであり,各場\\ \quad 合は同様に確からしい。\displaystyle \\ \ \ (\makebox[2mm][c]{i})\ \ x+y+z\leqq 7となるx,\ y,\ zの組合せは\\ \hspace*{6zw} 1+1+1,\ \,1+1+2,\ \,1+1+3,\ \,1+1+4,\ \,1+1+5, \\ \hspace*{6zw} 1+2+2,\ \,1+2+3,\ \,1+2+4,\ \,1+3+3, \\ \hspace*{6zw} 2+2+2,\ \,2+2+3 \\ \quad\ \ であるから,大中小の並びも考え,\ \ x+y+z\leqq 7となる確率は \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{\,1\times 2+3\times 7+3\hspace*{1pt}!\times 2\,}{216} =\frac{\,2+21+12\,}{216}=\frac{35}{\,216\,} \\[2mm] \quad\, x+y+z\geqq 8となるのはその余事象のときであり,求める確率は \\[1mm] \hspace*{6zw} 1-\frac{35}{\,216\,}=\frac{\,\ansbox{181}\,}{\ansbox{216}} \afrac{コサシ}{スセソ} \\[2mm] \ \ (\makebox[2mm][c]{ii})\ \ 1個のさいころの出る目の平均は \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{\,1+2+3+4+5+6\,}{6}=\frac{\,7\,}{2} \\[2mm] \quad\ \ であるから,\ \ 3x+2y+zの期待値は \\[1.5mm] \hspace*{6zw} 3\times\frac{\,7\,}{2}+2\times\frac{\,7\,}{2}+1\times \frac{\,7\,}{2}=\ansbox{21}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(タチ)} \\[5mm] (4)\ \ \int_0^{\hspace*{1pt}x} \{f(t)+9t\}\,dt=x^3+ax^2-bx\ の両辺をxで微分して \\[.5mm]\hspace*{6zw} f(x)+9x=3x^2+2ax-b \\[.5mm] \makebox[9zw][r]{$\therefore\,\ f(x)$}=3x^2+(2a-9)x-b \\[1.5mm]\hspace*{9zw} =3\Bigl(x+\frac{\,2a-9\,}{6}\Bigr)^{\!2}-\frac{1}{\,12\,}(2a-9)^2-b \\[2mm] \quad\, f(x)はx=1で最小,\ \ f(3)=7であるから \\[1.5mm] \hspace*{6zw} -\frac{\,2a-9\,}{6}=1 \,\ かつ \,\ f(3)=6a-b=7 \\[1.5mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ a=\frac{\,\overset{(ツ)}{\ansbox{3}}\,} {\underset{(テ)}{\ansbox{2}} },\ \, b=\underset{(ト)}{\ansbox{2}} \\[5mm] (5)\ \ 解と係数の関係より \\[1.5mm] \hspace*{5.6zw} \left\{\hspace*{-3pt}\begin{array}{l} \sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{\,2\,} \\[3mm] \sin\theta\cos\theta=-\dfrac{a}{\,8\,} \end{array}\right. \hfill \begin{array}{r@{}} \cdots\cdots\ \maru{1} \\[3mm] \cdots\cdots\ \maru{2} \end{array} \hspace*{8zw}\\[3mm] \quad \maru{1}の両辺を平方して,公式\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1を用いると\\[1.5mm] \hspace*{6zw} 1+2\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{\,4\,} \\[1.5mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ \sin\theta\cos\theta=-\frac{\,3\,}{8} \hfill \quad\cdots\cdots\ \maru{3} \hspace*{8zw}\\[2mm] \quad \maru{2},\ \maru{3}\,より\\ \hspace*{8zw} a=\ansbox{3}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(ナ)} \\[2mm] \quad \maru{1},\ \maru{3}\,を用いて\\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{\,\sin^2 \theta+1\,}{\cos\theta} +\dfrac{\,\cos^2\theta+1\,}{\sin\theta} \\[1.5mm] \hspace*{6zw} =\frac{\,(\sin^2 \theta+1)\sin\theta +(\cos^2 \theta+1)\cos\theta\,}{\sin\theta\cos\theta} \\[1.5mm] \hspace*{6zw} =\frac{\,\sin^3 \theta+\cos^3 \theta+\sin\theta+\cos\theta\,} {\sin\theta\cos\theta} \\[1.5mm] \hspace*{6zw} =\frac{\,(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2 \theta-\sin\theta \cos\theta+\cos^2 \theta+1)\,}{\sin\theta\cos\theta} \\[1.5mm] \hspace*{6zw} =\frac{\,\raisebox{2.5mm}{$\dfrac{1}{\,2\,}\Bigl(2+\dfrac{3} {\,8\,}\Bigr)$}\,}{-\dfrac{3}{\,8\,}\tabtopsp{0mm}} \\[1mm] \hspace*{6zw} =\frac{1}{\,2\,}\ten\frac{\,16+3\,}{-3} =\frac{\,\ansbox{-19}\,}{\ansbox{6}} \afrac{ニヌネ}{ノ} \\[4mm] \ \ \paalen{注}\ \ 対称式の変形では\\ \hspace*{7zw} a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) \\[.5mm] \qquad を用いる方が一般的であるが,\ \ \sin\theta\,と\,\cos\theta\,の対称式では\\ \hspace*{7zw} \sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1 \\[.5mm] \qquad を併用することができる。$ \end{document}