東京女子医科大学 医学部 2008年度 問1

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 東京女子医科大学
学科・方式 医学部
年度 2008年度
問No 問1
学部 医学部
カテゴリ 微分法 ・ 積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft} $f(x)$ は 3 次の多項式で\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}$\displaystyle \int_2^3 \dfrac{f(x)}{x-1}dx=7$,$f(1)=f'(1)=f''(1)=0$\\ \vspace*{1zw} とする。このとき,$f(x)$ を求めよ。 \end{flushleft} \end{FRAME} \vspace*{1zw} \begin{flushleft} \hspace*{1zw}$f(x)=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d$ $(a\neq 0)$ とおくと,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$f'(x)=3a(x-1)^2+2b(x-1)+c$,$f''(x)=6a(x-1)+2b$ で,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$f(1)=0$ より $d=0$,$f'(1)=0$ より $c=0$,$f''(x)=0$ より $b=0$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$\therefore$\hspace*{1zw}$f(x)=a(x-1)^3$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}また,$\displaystyle \int_2^3 \dfrac{f(x)}{x-1}dx=7$ より, \setlength{\mathindent}{5zw} \begin{equation*} \begin{split} \int_2^3\dfrac{f(x)}{x-1}dx&=\int_2^3\dfrac{a(x-1)^3}{x-1}dx\\ &=\int_2^3a(x-1)^2dx\\ &=\Big[\dfrac{1}{3}a(x-1)^3\Big]_2^3\\ &=\dfrac{1}{3}a\cdot (8-1)\\ &=\dfrac{7}{3}a\\ &=7\hspace*{1zw}なので, \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}これより,$a=3$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}故に,求める関数は $f(x)=\boldsymbol{3(x-1)^3}$ \end{flushleft} \end{document}