東京女子医科大学 医学部 2008年度 問3

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 東京女子医科大学
学科・方式 医学部
年度 2008年度
問No 問3
学部 医学部
カテゴリ 積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft}  次の積分の値を求めよ。\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$\displaystyle \int_{-1}^1 \dfrac{|x|}{1+e^x}dx$ \end{flushleft} \end{FRAME} \begin{flushleft} \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}与式を変形すると,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{5zw}$\displaystyle \int_{-1}^1 \dfrac{|x|}{1+e^x}dx=\displaystyle \int_{-1}^0 \dfrac{-x}{1+e^x}dx+\displaystyle \int_0^1\dfrac{x}{1+e^x}dx\hspace*{1zw}\cdots \cdots\MARU{1}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}このとき,右辺第 1 項 : $\displaystyle \int_{-1}^0 \dfrac{-x}{1+e^x}dx$ において,$-x=t$ とおくと,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$-dx=dt$ で,$x:-1\rightarrow 0$ のとき $t:1 \rightarrow 0$ なので, \setlength{\mathindent}{5zw} \begin{equation*} \begin{split} \int_{-1}^0 \dfrac{-x}{1+e^x}dx&=\int_1^0\dfrac{t}{1+e^{-t}}dt\cdot (-1)dt\\ &=\int_0^1\dfrac{t}{1+e^{-t}}dt\\ &=\int_0^1\dfrac{te^t}{e^t+1}dt\\ &=\int_0^1\dfrac{t(e^t+1)-t}{e^t+1}dt\\ &=\int_0^1\Big(t-\dfrac{t}{e^t+1}\Big) dt\\ &=\int_0^1tdt-\int_0^1\dfrac{t}{e^t+1}dt\\ &=\Big[\dfrac{1}{2}t^2\Big]_0^1-\int_0^1\dfrac{t}{e^t+1}dt\\ &=\dfrac{1}{2}-\int_0^1\dfrac{t}{e^t+1}dt\\ \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}従って,$\displaystyle \int_0^1\dfrac{t}{e^t+1}dt=\displaystyle \int_0^1\dfrac{x}{1+e^x}dx$ より,\\ \begin{equation*} \begin{split} \MARU{1}&=\dfrac{1}{2}-\int_0^1\dfrac{t}{e^t+1}dt+\int_0^1\dfrac{x}{1+e^x}dx\\ &=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}} \end{split} \end{equation*} \end{flushleft} \end{document}