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解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
| 大学名 |
センター試験 |
| 学科・方式 |
数学Ⅰ・Ａ |
| 年度 |
1999年度 |
| 問No |
問3 |
| 学部 |
|
| カテゴリ |
数列
|
| 状態 |
   |
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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{waku,amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値
\def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}}
%ベクトルの大きい絶対値
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\quad\dotfill}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}}
\def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}}
\def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整
\def\Yueni{\H\yueni\quad}
\def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠
\def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
\def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整
\def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\setlength{\textheight}{40\baselineskip}
\begin{document}
\begin{jituwaku}
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
{\large \gt{第３問}}\quad (\textgt{選択問題})\quad (配点 \; 20)\\
\quad
初項が$-100$で公差が5の等差数列$\CK{a_n}$の一般項は
\[\ake a_n=\FBA{ア}\SK{n-\FBA{イウ}}\]
である。この数列を次のように1個，2個，$2^2$個，$2^3$個，$\cdots\cdots$と区画に分ける。
\[\ake |\;a_1\;|\;a_2 \quad a_3\;|\;a_4\quad a_5\quad a_6\quad a_7\;|\;a_8\;\cdots\cdots\]
\BK{\kakkoichi}
$m$番目の区画の最初の項を$b_m$とおくと
\[\h b_8=\FBB{エオカ}\]
であり
\[\h b_1+b_2+b_3+\cdots+b_8=\FBB{キクケ}\]
である。
\EK
\BK{\kakkoni}
6番目の区画に入る項の和は\FBC{コサシス}である。
\EK\end{jituwaku}
\h\kai\quad\kakkoichib\quad
$|\;a_1\;|\;a_2 \quad a_3\;|\;a_4\quad a_5\quad a_6\quad a_7\;|\;a_8\;\cdots\cdots\Cdots\maruichi$\\
$\CK{a_n}$は初項$-100$，公差5の等差数列であるから
\[a_n=-100+5(n-1)=\bd{5}(n-\bd{21})\GT{アイウ}\]
また$\maruichi$において$m$番目の区画には$2^{m-1}$個の項が含まれるので，1番目の区画の初項から$m$番目の区画の末項までに
\[1+2+2^2+\cdots+2^{m-1}=\frac{2^m-1}{2-1}=2^m-1個\]
の項が含まれる。よって$b_m$は数列$\CK{a_n}$の$(2^{m-1}-1)+1=2^{m-1}$番目の項であるから
\[b_m=a_{2^{m-1}}=5(2^{m-1}-21)\]
ゆえに\quad $b_8=5(2^7-21)=\bd{535}\GT{エオカ}$\\[-10pt]
\begin{align*}
b_1+b_2+b_3+\cdots+b_8
&=\sum_{m=1}^{8}5(2^{m-1}-21)\\
&=5\cdot\frac{2^8-1}{2-1}-5\cdot21\cdot8=1275-840=\bd{435}\GT{キクケ}
\end{align*}
\h\kakkonib\quad
6番目の区画の項は初項$b_6=5(2^5-21)=55$，末項$b_7-5=5(2^6-21)-5=210$，項数$2^{6-1}=32$の等差数列をなすから，その和は
\[\frac{1}{2}\cdot32(55+210)=\bd{4240}\GT{コサシス}\]
\end{document}
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