センター試験 数学Ⅰ・A 1999年度 問3

問題へ戻る

解答作成者: 山田 慶太郎

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅰ・A
年度 1999年度
問No 問3
学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。 コメントをつけるにはログインが必要です。

\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt {\large \gt{第3問}}\quad (\textgt{選択問題})\quad (配点 \; 20)\\ \quad 初項が$-100$で公差が5の等差数列$\CK{a_n}$の一般項は \[\ake a_n=\FBA{ア}\SK{n-\FBA{イウ}}\] である。この数列を次のように1個,2個,$2^2$個,$2^3$個,$\cdots\cdots$と区画に分ける。 \[\ake |\;a_1\;|\;a_2 \quad a_3\;|\;a_4\quad a_5\quad a_6\quad a_7\;|\;a_8\;\cdots\cdots\] \BK{\kakkoichi} $m$番目の区画の最初の項を$b_m$とおくと \[\h b_8=\FBB{エオカ}\] であり \[\h b_1+b_2+b_3+\cdots+b_8=\FBB{キクケ}\] である。 \EK \BK{\kakkoni} 6番目の区画に入る項の和は\FBC{コサシス}である。 \EK\end{jituwaku} \h\kai\quad\kakkoichib\quad $|\;a_1\;|\;a_2 \quad a_3\;|\;a_4\quad a_5\quad a_6\quad a_7\;|\;a_8\;\cdots\cdots\Cdots\maruichi$\\ $\CK{a_n}$は初項$-100$,公差5の等差数列であるから \[a_n=-100+5(n-1)=\bd{5}(n-\bd{21})\GT{アイウ}\] また$\maruichi$において$m$番目の区画には$2^{m-1}$個の項が含まれるので,1番目の区画の初項から$m$番目の区画の末項までに \[1+2+2^2+\cdots+2^{m-1}=\frac{2^m-1}{2-1}=2^m-1個\] の項が含まれる。よって$b_m$は数列$\CK{a_n}$の$(2^{m-1}-1)+1=2^{m-1}$番目の項であるから \[b_m=a_{2^{m-1}}=5(2^{m-1}-21)\] ゆえに\quad $b_8=5(2^7-21)=\bd{535}\GT{エオカ}$\\[-10pt] \begin{align*} b_1+b_2+b_3+\cdots+b_8 &=\sum_{m=1}^{8}5(2^{m-1}-21)\\ &=5\cdot\frac{2^8-1}{2-1}-5\cdot21\cdot8=1275-840=\bd{435}\GT{キクケ} \end{align*} \h\kakkonib\quad 6番目の区画の項は初項$b_6=5(2^5-21)=55$,末項$b_7-5=5(2^6-21)-5=210$,項数$2^{6-1}=32$の等差数列をなすから,その和は \[\frac{1}{2}\cdot32(55+210)=\bd{4240}\GT{コサシス}\] \end{document}