杏林大学 医学部 2009年度 問1

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 杏林大学
学科・方式 医学部
年度 2009年度
問No 問1
学部 医学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \newdimen\mytempdima %% \newcommand{\egg}[1]{% \setbox0\hbox{\fontfamily{phv}\fontsize{9pt}{0}\selectfont#1\/}% \mytempdima\ht0 \advance\mytempdima-5.7pt \advance\mytempdima-\dp0 \divide\mytempdima 2\relax \makebox[1.5zw]{\ooalign{\lower0.35zw\hbox{% \includegraphics[bb=0 0 34 46,scale=0.263]{oval}}\crcr \hfil\lower\mytempdima\box0\hfil}}} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft} \hspace*{1.5zw}$\f{\hspace*{1zw}ス\hspace*{1zw}}$ の解答は解答群から最も適当なものを 1 つ選べ.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}四面体 OABC において, \setlength{\mathindent}{5zw} \[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1,\hspace*{1zw}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{1}{2} \] \vspace*{0.5zw} が成り立つ.\\ \hspace*{1zw}$\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ に垂直な単位ベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut a}$ とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathstrut a}>0$ を満たす $\overrightarrow{\mathstrut a}$ は\\ \[ \overrightarrow{\mathstrut a}=\frac{\sqrt{\f{\hspace*{1zw}ア\hspace*{1zw}}}}{\f{\hspace*{1zw}イ\hspace*{1zw}}}\hspace*{0.3zw}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\sqrt{\f{\hspace*{1zw}ウ\hspace*{1zw}}}}{\f{\hspace*{1zw}エ\hspace*{1zw}}}\hspace*{0.3zw}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{\sqrt{\f{\hspace*{1zw}オ\hspace*{1zw}}}}{\f{\hspace*{1zw}カ\hspace*{1zw}}}\hspace*{0.3zw}\overrightarrow{\mathrm{OC}} \] となる.\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}位置ベクトルが $\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ で表される点を D とする.$\angle \mathrm{ODC}=\theta $ とすると, \[ \cos{\theta }=\frac{\f{\hspace*{1zw}キ\hspace*{1zw}}}{\f{\hspace*{1zw}ク\hspace*{1zw}}} \] であり,D から直線 OC に下ろした垂線の足を E とすると,DE=$\displaystyle \frac{\f{\hspace*{1zw}ケ\hspace*{1zw}}}{\f{\hspace*{1zw}コ\hspace*{1zw}}}$ となる.\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}点 O から 3 点 ABC を含む平面に下ろした垂線の足を F,OF と DE の交点を Gとすると,F は\\ \vspace*{0.5zw} 線分 OG を $\f{\hspace*{1zw}サ\hspace*{1zw}} : \f{\hspace*{1zw}シ\hspace*{1zw}}$ に $\f{\hspace*{1zw}ス\hspace*{1zw}}$ する.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}辺AB 上に点 P,辺 BC 上に点 Q,辺 OC 上に点 R を取るとき,$\mathrm{OP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{RA}$ の最小値は \\ \vspace*{1zw} $\sqrt{\f{\hspace*{1zw}セ\hspace*{1zw}}}$ となる.\\ \vspace*{2zw} $\f{\hspace*{1zw}ス\hspace*{1zw}}$ の解答群 \setlength{\mathindent}{0zw} \[ \begin{array}{l l l l} \egg{1} & \textrm{内分} & \egg{2} & \textrm{外分} \\ \end{array} \] \end{flushleft} \end{FRAME} \begin{flushleft} \hspace*{1zw}$k$,$l$,$m$ を実数とし,$\overrightarrow{\mathstrut a}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}+l\overrightarrow{\mathrm{OB}}+m\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ とおくと,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$|\overrightarrow{\mathstrut a}|=1$ より,$|k\overrightarrow{\mathrm{OA}}+l\overrightarrow{\mathrm{OB}}+m\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2=1$ で,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1,\hspace*{1zw}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\dfrac{1}{2}$ より,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{5zw}$k^2+l^2+m^2+kl+lm+mk=1\hspace*{1zw}\cdots\MARU{1}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$\overrightarrow{\mathstrut a}(\neq \overrightarrow{\mathstrut 0})$ は $\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}(\neq \overrightarrow{\mathstrut 0})$ に垂直なので, $(\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}})\cdot \overrightarrow{\mathstrut a}=0$ より, \setlength{\mathindent}{5zw} \begin{equation*} \begin{split} (\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}})\cdot (k\overrightarrow{\mathrm{OA}}+l\overrightarrow{\mathrm{OB}}+m\overrightarrow{\mathrm{OC}})&=0\\ k+\frac{1}{2}l+\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}k-l-\frac{1}{2}m=&0\\ \frac{1}{2}k-\frac{1}{2}l&=0\\ \therefore\hspace*{1zw}k&=l \end{split} \end{equation*} \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$\overrightarrow{\mathstrut a}(\neq \overrightarrow{\mathstrut 0})$ は $\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}(\neq \overrightarrow{\mathstrut 0})$ に垂直なので, $(\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}})\cdot \overrightarrow{\mathstrut a}=0$ より, \setlength{\mathindent}{5zw} \begin{equation*} \begin{split} (\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}})\cdot (k\overrightarrow{\mathrm{OA}}+l\overrightarrow{\mathrm{OB}}+m\overrightarrow{\mathrm{OC}})&=0\\ \frac{1}{2}k+l+\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}l-m=&0\\ \frac{1}{2}l-\frac{1}{2}m&=0\\ \therefore\hspace*{1zw}l&=m \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}従って,$\MARU{1}$ より, \begin{equation*} \begin{split} k^2+k^2+k^2+k^2+k^2+k^2&=1\\ k^2&=\frac{1}{6}\\ \therefore\hspace*{1zw}k=\pm \frac{\sqrt{6}}{6} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}いま,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathstrut a}>0$ なので, \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot (k\overrightarrow{\mathrm{OA}}+k\overrightarrow{\mathrm{OB}}+k\overrightarrow{\mathrm{OC}})&>0\\ k\Big(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\Big)&>0\\ \therefore\hspace*{1zw}k>0 \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}よって,$k=l=m=\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ となり,$\overrightarrow{\mathstrut a}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}}{6}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{\sqrt{6}}{6}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\dfrac{\sqrt{6}}{6}\overrightarrow{\mathrm{OC}}}$\\ \begin{figure}[!htb] \begin{flushleft} \includegraphics[width=20zw,clip]{09kyorin0101.eps} \end{flushleft} \end{figure}% \hspace*{1zw}次に,点 D の位置ベクトルが $\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ なので,点 D は 線分 AB の中点である.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}また,$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1,\hspace*{1zw}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\dfrac{1}{2}$ なので,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=60°$\\ \hspace*{1zw}これより,$\triangle \mathrm{AOB}$,$\triangle \mathrm{BOC}$,$\triangle \mathrm{COA}$ は正三角形となり,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}四面体 OABC は 1 辺の長さが 1 の正四面体である.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}従って,$\mathrm{OD}=\mathrm{DC}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}$\triangle \mathrm{ODC}$ で余弦定理より \begin{equation*} \begin{split} \cos{\theta }&=\cfrac{\cfrac{3}{4}+\cfrac{3}{4}-1}{2\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}}\\ &=\boldsymbol{\frac{1}{3}} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}また,$\triangle \mathrm{ODE}$ で三平方の定理より \begin{equation*} \begin{split} \mathrm{DE}(>0)&=\sqrt{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}\\ &=\boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{2}} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}$\overrightarrow{\mathstrut a}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ に垂直で,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ は平面 ABC 上にあるので,$p$ を実数として,$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=p\overrightarrow{\mathstrut a}$ とおける\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}これより, \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\mathrm{OF}}&=p\Big(\frac{\sqrt{6}}{6}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\sqrt{6}}{6}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{\sqrt{6}}{6}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\Big)\\ &=\frac{\sqrt{6}}{6}p\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\sqrt{6}}{6}p\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{\sqrt{6}}{6}p\overrightarrow{\mathrm{OC}} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}いま,点 F は平面 ABC 上にあるので, \begin{equation*} \begin{split} \frac{\sqrt{6}}{6}p+\frac{\sqrt{6}}{6}p+\frac{\sqrt{6}}{6}p&=1\\ 3\cdot \frac{\sqrt{6}}{6}p&=1\\ \therefore\hspace{1zw}p&=\frac{\sqrt{6}}{3} \end{split} \end{equation*} \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}よって,$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OC}}}$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}また,$q$ を実数として,$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=q\overrightarrow{\mathrm{OF}}$ とおける \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\mathrm{OG}}&=\frac{1}{3}q\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{3}q\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{1}{3}q\overrightarrow{\mathrm{OC}}\\ &=\frac{1}{3}q\Big(\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}\Big)\cdot 2+\frac{1}{3}q\Big(\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\Big)\cdot 2\\ &=\frac{2}{3}q\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\frac{2}{3}q\overrightarrow{\mathrm{OE}} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}いま,点 G は線分 DE 上にあるので, \begin{equation*} \begin{split} \frac{2}{3}q+\frac{2}{3}q&=1\\ \therefore\hspace*{1zw}q=&\frac{3}{4} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}これより,$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\mathrm{OF}}$ となり,点 F は線分 OG を $\boldsymbol{4:1 に外分する}$.\\ \begin{figure}[!htb] \begin{flushleft} \includegraphics[width=20zw,clip]{09kyorin0102.eps} \end{flushleft} \end{figure}% \hspace*{1zw}$\mathrm{OP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{RA}$ の最小値について,余弦定理より, \begin{equation*} \begin{split} \mathrm{OA}^2&=2^2+1^2-2\cdot 2\cdot 1\cdot \cos{120°}\\ &=4+1+2\cdot 2\cdot \Big(-\frac{1}{2}\hspace*{0.4zw}\Big)\\ &=3 \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}故に,求める最小値は $\mathrm{OA}(>0)=\boldsymbol{\sqrt{3}}$ \end{flushleft} \end{document}