東京理科大学 理工学部 2010年度 問2

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解答作成者: 山中 晴文

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入試情報

大学名 東京理科大学
学科・方式 理工学部
年度 2010年度
問No 問2
学部 理工学部
カテゴリ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,fleqn,papersize]{jsarticle} \usepackage{emathP} \usepackage{custom_suseum} \hoffset=0pt \textwidth=420pt \voffset=-30pt \textheight=610pt \footskip=15pt \renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}} \renewcommand{\labelenumi}{(\theenumi)} \renewcommand{\theenumii}{\roman{enumii}} \renewcommand{\labelenumii}{(\makebox[5.6pt]{\theenumii})} \setlength{\mathindent}{2zw} %%% 自作 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\kakkoi}{(\hspace{1.37pt}\text{i}\hspace{1.37pt})} \newcommand{\kakkoii}{(\text{ii})} \newcommand{\kakkoiii}{(\hspace{-1.41pt}\text{iii}\hspace{-1.41pt})} \newcommand{\kakkoiv}{(\hspace{-1.25pt}\text{iv}\hspace{-1.25pt})} \newcommand{\kakkov}{(\hspace{0.15pt}\text{v}\hspace{0.15pt})} \newcommand{\kakkovi}{(\hspace{-1.25pt}\text{vi}\hspace{-1.25pt})} \newcommand{\kakkoI}{[\hspace{2.6pt}I\hspace{2.6pt}]} \newcommand{\kakkoII}{[\hspace{1.3pt}I\hspace{-1pt}I\hspace{1.3pt}]} \newcommand{\kakkoIII}{[I\hspace{-1pt}I\hspace{-1pt}I]} \newcommand{\migirule}{\vspace{-20pt}\begin{flushright}\rule{1pt}{7pt}\end{flushright}} \newcommand{\CLrule}{\rule[3.5pt]{150pt}{0.3pt}\vspace{-24pt} \begin{flushright}\rule[3.5pt]{250pt}{0.3pt}\end{flushright}} \newcommand{\renrule}{\hspace{-3.5pt}\rule[3.5pt]{100pt}{0.3pt}\vspace{-24pt} \begin{flushright}\rule[3.5pt]{300pt}{0.3pt}\end{flushright}} \newcommand{\dumyeqhspace}{\hspace{31.827pt}} \newcommand{\QED}{\hspace{1zw}\rule[0pt]{4pt}{8pt}} \newcommand{\答}{ \Cdots\Cdots(答)} \def\maru#1{{\ooalign{\hfil\raise.102ex\hbox{\small #1}\/\hfil\crcr \raise.167ex\hbox{\mathhexbox 20D}}}} \newcommand{\inbe}{\def\arraystretch{0.75}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 自作終わり %%% % \def\Anscolor{red} \def\Anscolor{white} \begin{document} \begin{FRAME} 行列$A$,$B$,$E$を \[ A=\gyouretu{1}{a}{b}{-1},~~ B=\gyouretu{x}{y}{z}{1},~~ E=\gyouretu{1}{0}{0}{1} \] として,$A$は逆行列をもたないとする。 \vspace{1zw} \begin{enumerate}<apnenum={\leftmargin=2zw}> \item $A^2$を求めなさい。 \vspace{1zw} \hspace{-0.5zw}以下では,$AB+BA=E$が成り立つとする。 \vspace{1zw} \item $x$の値を求めなさい。 \vspace{1zw} \item $ABA=A$を示しなさい。 \vspace{1zw} \item 2以上の自然数$n$に対し,$(AB)^n+(BA)^n$を求めなさい。 \end{enumerate} \end{FRAME} \newpage \begin{enumerate} \item {\inbe$A=\gyouretu{1}{a}{b}{-1}$}は逆行列をもたないので, \begin{gather*} \det A=-1-ab=0 \\ \therefore 1+ab=0 \end{gather*} が成り立つ. \\ よって,ケーリー・ハミルトンの定理より, \begin{gather*} A^2-(1-1)A+0\cdot E=O \\ \therefore A^2=O \end{gather*} つまり, \[ A^2=\bm{\gyouretu{0}{0}{0}{0} \答} \] \vspace{2zw} \item {\inbe$A=\gyouretu{1}{a}{b}{-1}$,$B=\gyouretu{x}{y}{z}{1}$}より, \begin{align*} AB+BA & =\gyouretu{1}{a}{b}{-1}\gyouretu{x}{y}{z}{1} +\gyouretu{x}{y}{z}{1}\gyouretu{1}{a}{b}{-1} \\ & =\gyouretu{x+az}{y+a}{bx-z}{by-1}+\gyouretu{x+by}{ax-y}{z+b}{az-1} \\ & =\gyouretu{2x+az+by}{ax+a}{bx+b}{by+az-2} \end{align*} これが{\inbe$E=\gyouretu{1}{0}{0}{1}$}と等しくなることより, \[ \begin{emcases} 2x+az+by=1 & \Cdots\Cdots\maru{1} \\[0.2zw] ax+a=0 & \Cdots\Cdots\maru{2} \\[0.2zw] bx+b=0 & \Cdots\Cdots\maru{3} \\[0.2zw] by+az-2=1 & \Cdots\Cdots\maru{4} \end{emcases} \] が成り立つ. \\ ここで,$ab+1=0$より,$a \neqq 0$であるので,\maru{2}より, \begin{gather*} a(x+1)=0 \\ \therefore x+1=0 \\ \therefore x=-1 \end{gather*} となる. \newpage このとき,\maru{3}は成り立ち,また\maru{1}と\maru{4}は,ともに \[ az+by=3 \] となり,この式を満たす実数$a$,$b$,$y$,$z$は存在する. \vspace{1zw} 以上より,求める$x$の値は, \[ \bm{x=-1 \答} \] \vspace{2zw} \item $AB+BA=E$の両辺に,左から$A$をかけると, \[ A^2B+ABA=A \] $A^2=O$より,$A^2B=O$となるので, \begin{gather*} O+ABA=A \\ \therefore ABA=A \hspace{2zw}\textbf{(証明終り)} \end{gather*} \vspace{2zw} \item $ABA=A$の両辺に,右から$B$をかけると, \[ ABAB=AB \] つまり,$(AB)^2=AB$となるので, \[ (AB)^n=(AB)^{n-1}=(AB)^{n-2}=\cdots =AB \] となる. \\ また,$ABA=A$の両辺に,左から$B$をかけると, \[ BABA=BA \] つまり,$(BA)^2=BA$となるので, \[ (BA)^n=(BA)^{n-1}=(BA)^{n-2}=\cdots =BA \] となる. \\ よって, \begin{align*} (AB)^n+(BA)^n & =AB+BA \\ & =E \\ & =\bm{\gyouretu{1}{0}{0}{1} \答} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}