東京理科大学 理工学部 2010年度 問1

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解答作成者: 山中 晴文

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入試情報

大学名 東京理科大学
学科・方式 理工学部
年度 2010年度
問No 問1
学部 理工学部
カテゴリ 微分法と積分法 ・ ベクトル ・ 微分法 ・ 微分法の応用
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
タチのところの答えが違っているのでは・・・?
[式:…] = [式:…]
= [式:…]

となると思います。
knowl さん 2011/06/06 01:12:04 報告
2
>>knowl さん

ご指摘ありがとうございます。
遅くなりましたが修正しました。
山中 晴文 さん 2012/03/29 04:02:01 報告
\documentclass[b5paper,fleqn,papersize]{jsarticle} \usepackage{emathP} \usepackage{itembbox} \usepackage{hako} \usepackage[tpic]{arhako} \usepackage{custom_suseum} \hoffset=0pt \textwidth=420pt \voffset=-30pt \textheight=610pt \footskip=15pt \renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}} \renewcommand{\labelenumi}{(\theenumi)} \renewcommand{\theenumii}{\roman{enumii}} \renewcommand{\labelenumii}{(\makebox[5.6pt]{\theenumii})} \setlength{\mathindent}{2zw} %%% 自作 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\kakkoi}{(\hspace{1.37pt}\text{i}\hspace{1.37pt})} \newcommand{\kakkoii}{(\text{ii})} \newcommand{\kakkoiii}{(\hspace{-1.41pt}\text{iii}\hspace{-1.41pt})} \newcommand{\kakkoiv}{(\hspace{-1.25pt}\text{iv}\hspace{-1.25pt})} \newcommand{\kakkov}{(\hspace{0.15pt}\text{v}\hspace{0.15pt})} \newcommand{\kakkovi}{(\hspace{-1.25pt}\text{vi}\hspace{-1.25pt})} \newcommand{\kakkoI}{[\hspace{2.6pt}I\hspace{2.6pt}]} \newcommand{\kakkoII}{[\hspace{1.3pt}I\hspace{-1pt}I\hspace{1.3pt}]} \newcommand{\kakkoIII}{[I\hspace{-1pt}I\hspace{-1pt}I]} \newcommand{\migirule}{\vspace{-20pt}\begin{flushright}\rule{1pt}{7pt}\end{flushright}} \newcommand{\CLrule}{\rule[3.5pt]{150pt}{0.3pt}\vspace{-24pt} \begin{flushright}\rule[3.5pt]{250pt}{0.3pt}\end{flushright}} \newcommand{\renrule}{\hspace{-3.5pt}\rule[3.5pt]{100pt}{0.3pt}\vspace{-24pt} \begin{flushright}\rule[3.5pt]{300pt}{0.3pt}\end{flushright}} \newcommand{\dumyeqhspace}{\hspace{31.827pt}} \newcommand{\QED}{\hspace{1zw}\rule[0pt]{4pt}{8pt}} \newcommand{\答}{ \Cdots\Cdots(答)} \def\maru#1{{\ooalign{\hfil\raise.102ex\hbox{\small #1}\/\hfil\crcr \raise.167ex\hbox{\mathhexbox 20D}}}} \newcommand{\inbe}{\def\arraystretch{0.75}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 自作終わり %%% % \def\Anscolor{red} \def\Anscolor{white} \begin{document} \hakosyokika \hakomozisyu{$\,\!$ア$\,\!$} \hakoxyohaku{0pt} \sikirisen{\hasen[L=1.5pt,G=1.5pt]}{0.4pt}{あ} \hakosenhaba{0.8pt} \begin{FRAME} 次の文章中の\Hako"$\,\!$ア$\,\!$"から\Hako"$\,\!$ユ$\,\!$"までにあてはまる数字0~9を求めて, \textbf{解答用マークシート}の指定された欄にマークしなさい。 ただし,分数は既約分数として表しなさい。 \vspace{1zw} \begin{enumerate}<apnenum={\leftmargin=2zw}> \item 座標空間の6つの点 \\[0.5zw] \hspace{2zw}O\retu(0,0,0),~~ A\retu(1,0,0),~~ B\retu(0,2,0),~~ C\retu(0,0,3),~~ D\retu(1,2,0),~~ P\retu(0,0,t) \\[0.5zw] を考える。ただし,$0 \leqq t \leqq 3$である。 \vspace{1zw} \begin{enumerate} \item $\mathrm{DP}^2=t^2+\Hako$である。また$\cos\kaku{ODP} =\bunsuu{3\sqrt{5}}{\sqrt{94}}$なら,$t=\bunsuu{\Hako}{\Hako}$である。 \vspace{2zw} \item \sankaku{ABC}の重心Gの座標は\retu(\bunsuu{\Hako}{\Hako}, \bunsuu{\Hako}{\Hako},{\Hako})である。また\sankaku{ABC}と 線分DPの交点が重心Gと等しいなら,$t=\bunsuu{\Hako}{\Hako}$である。 \end{enumerate} \end{enumerate} \end{FRAME} \newpage \begin{FRAME} \begin{enumerate}<syokiti=1> \item 関数$f(x)=e^{3x}\sin4x$の極値を$x>0$の範囲で考える。ここで,$e$は自然対数の底である。 \vspace{1zw} \begin{enumerate} \item 関数$y=f(x)$は,各自然数$n$に対して,$\theta_n=\bunsuu{n\pi-\alpha}{\Hako}$で 極値をとる。 \\ ここで,$\alpha$は$0<\alpha<\pi$の範囲にあり, \[ \cos\alpha=\bunsuu{\Hako}{\Hako},~~ \sin\alpha=\bunsuu{\Hako}{\Hako} \] を満たす。 \vspace{2zw} \item \hspace{-5pt}\kakkoi\hspace{-3pt}において,$x=\theta_n$のときの極値$y_n$は $y_n=(-1)^{n-1}\bunsuu{\Hako}{\Hako}e^{3\theta_n}$である。 \vspace{2zw} \item \hspace{-5pt}\kakkoii\hspace{-3pt}で求めた$y_n$について, $\bunsuu{y_{2n+1}}{y_{2n-1}}$は一定で,その値を$e^{C\pi}$と表すと, $C=\bunsuu{\Hako}{\Hako}$ \\ である。 \end{enumerate} \end{enumerate} \end{FRAME} \newpage \begin{FRAME} \begin{enumerate}<syokiti=2> \item 座標平面上,2曲線$y=x^2$,$y=x^3-x$の交点は原点以外に2点あり, その$x$座標を$\alpha$,$\beta$ \\ $(\alpha<\beta)$とすると, \[ \alpha=\bunsuu{\Hako-\sqrt{\Hako}}{\Hako},~~ \beta=\bunsuu{\Hako+\sqrt{\Hako}}{\Hako} \] である。またこの2曲線で囲まれた部分は2つあり,そのうち, \\ $x \leqq 0$の部分の面積を$S$,$x \geqq 0$の部分の面積を$T$とすると, \[ S=\bunsuu{\renHako<2>-\Hako\sqrt{\Hako}}{\renHako<2>},~~ T=\bunsuu{\renHako<2>+\Hako\sqrt{\Hako}}{\renHako<2>} \] となる。 \end{enumerate} \end{FRAME} \newpage \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\retu(1,2,0),P\retu(0,0,t)より, \begin{align*} \mathrm{DP}^2 & =(1-0)^2+(2-0)^2+(0-t)^2 \\ & =\bm{t^2+5 \答_{ア}} \end{align*} また,{\inbe$\bekutoru{DO}=\Retube{-1}{-2}{0}$と$\bekutoru{DP}=\Retube{-1}{-2}{t}$}との なす角を$\theta~ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とすると, \begin{align*} \zettaiti{\bekutoru{DO}} & =\sqrt{1^2+2^2+0^2} \\ & =\sqrt{5} \end{align*} \vspace{-1.5zw} \[ \zettaiti{\bekutoru{DP}}=\sqrt{t^2+5} \] \vspace{-2zw} \begin{align*} \bekutoru{DO}\cdot \bekutoru{DP} & =1+4+0 \\ & =5 \end{align*} より, \begin{align*} \cos\theta & =\bunsuu{\bekutoru{DO}\cdot \bekutoru{DP}} {\zettaiti{\bekutoru{DO}}\zettaiti{\bekutoru{DP}}} \\ & =\bunsuu{5}{\sqrt{5}\sqrt{t^2+5}} \end{align*} これが$\bunsuu{3\sqrt{5}}{\sqrt{94}}$と等しくなるとき, \begin{gather*} \bunsuu{5}{\sqrt{5}\sqrt{t^2+5}}=\bunsuu{3\sqrt{5}}{\sqrt{94}} \\ \therefore \sqrt{t^2+5}=\bunsuu{\sqrt{94}}{3} \\ \therefore t^2+5=\bunsuu{94}{9} \\ \therefore t^2=\bunsuu{49}{9} \\ \therefore t=\pm \bunsuu{7}{3} \end{gather*} $0 \leqq t \leqq 3$なので, \[ \bm{t=\bunsuu{7}{3} \答_{イウ}} \] \newpage \item A\retu(1,0,0),B\retu(0,2,0),C\retu(0,0,3)より,三角形ABCの重心Gの座標は, \begin{gather*} \retu(\bunsuu{1+0+0}{3},\bunsuu{0+2+0}{3},\bunsuu{0+0+3}{3}) \\ \therefore \bm{\retu(\bunsuu{1}{3},\bunsuu{2}{3},1) \答_{エオカキク}} \end{gather*} \vspace{1zw} また,線分DP上の点をQとすると, \begin{align*} \bekutoru{OQ} & =\bekutoru{OD}+k\bekutoru{DP} \hspace{2zw}(0 \leqq k \leqq 1) \\ & =\Retube{\makebox[10pt]{1}}{2}{0}+k\Retube{-1}{-2}{t} \\ & =\Retube{1-k}{2-2k}{kt} \end{align*} より,点Qの座標は\retu(1-k,2-2k,t)と表せるので, これが点G\retu(\bunsuu{1}{3},\bunsuu{2}{3},1)と一致するとき, \[ \begin{emcases} 1-k=\bunsuu{1}{3} \\[0.7zw] 2-2k=\bunsuu{2}{3} \\[0.7zw] kt=1 \end{emcases} \] が成り立つ.これを解いて, \[ k=\bunsuu{2}{3},~~ \bm{t=\bunsuu{3}{2} \答_{ケコ}} \] \end{enumerate} \newpage \item \begin{enumerate} \item $f(x)=e^{3x}\sin4x$より, \begin{align*} f'(x) & =3e^{3x}\sin4x+4e^{3x}\cos4x \\ & =e^{3x}(3\sin4x+4\cos4x) \\ & =5e^{3x}\sin(4x+\alpha) \\ & \hspace{1zw}\left(ただし,~ \cos\alpha=\bunsuu{3}{5},~ \sin\alpha=\bunsuu{4}{5}\right) \end{align*} これより,$f'(x)=0$となる$x$の値は, \begin{gather*} 5e^{3x}\sin(4x+\alpha)=0 \\ \therefore \sin(4x+\alpha)=0 \hspace{2zw}(\because e^{3x} \neqq 0) \\ \therefore 4x+\alpha=n\pi \hspace{2zw}(nは整数) \\ \therefore x=\bunsuu{n\pi-\alpha}{4} \end{gather*} また, \\[1zw] \hspace{2zw}$n$が奇数のとき,$x=\bunsuu{n\pi-\alpha}{4}$の前後で$f'(x)$は正から負へと 符号が変化し, \\[0.5zw] \hspace{2zw}$n$が偶数のとき,$x=\bunsuu{n\pi-\alpha}{4}$の前後で$f'(x)$は負から正へと 符号が変化する \\[1zw] ので,$f(x)$は$x=\bunsuu{n\pi-\alpha}{4}$において極値をとる. \vspace{1zw} よって,$0<\alpha<\bunsuu{\pi}{2}$とすると,$x>0$においては, \[ x=\bunsuu{\pi-\alpha}{4},~ \bunsuu{2\pi-\alpha}{4},~ \bunsuu{3\pi-\alpha}{4},~ \Cdots \] で$f(x)$は極値をとるので,これらは$n$を自然数として \[ \bm{\theta_n=\bunsuu{n\pi-\alpha}{4} \答_{サ}} \] と表せる.ただし,$\alpha$は, \[ \bm{\cos\alpha=\bunsuu{3}{5},~ \sin\alpha=\bunsuu{4}{5} \答_{シスセソ}} \] を満たす角である. \newpage \item $x=\theta_n$のときの極値$y_n$は, \begin{align*} y_n & =f(\theta_n) \\ & =e^{3\theta_n}\sin4\theta_n \\ & =e^{3\theta_n}\sin4\cdot \bunsuu{n\pi-\alpha}{4} \\ & =e^{3\theta_n}\sin(n\pi-\alpha)~~ \Cdots\Cdots\maru{1} \end{align*} ここで, \\[1zw] \hspace{2zw}$n$が奇数のとき,$\sin(n\pi-\alpha)=\sin\alpha$ \\[0.5zw] \hspace{2zw}$n$が偶数のとき,$\sin(n\pi-\alpha)=-\sin\alpha$ \\[1zw] となるので, \[ \sin(n\pi-\alpha)=(-1)^{n-1}\sin\alpha \] と表せる.よって,\maru{1}より, \begin{align*} y_n & =e^{3\theta_n}(-1)^{n-1}\sin\alpha \\ & =\bm{(-1)^{n-1}\bunsuu{4}{5}e^{3\theta_n} \答_{タチ}} \end{align*} \vspace{2zw} \item $y_n=(-1)^{n-1}\bunsuu{4}{5}e^{3\theta_n}$より, \begin{align*} \bunsuu{y_{2n+1}}{y_{2n-1}} & =\bunsuu{(-1)^{2n}\bunsuu{4}{5}e^{3\theta_{2n+1}}} {(-1)^{2n-2}\bunsuu{4}{5}e^{3\theta_{2n-1}}} \\ & =\bunsuu{1\cdot \bunsuu{4}{5}e^{3\cdot \frac{(2n+1)\pi-\alpha}{4}}} {1\cdot \bunsuu{4}{5}e^{3\cdot \frac{(2n-1)\pi-\alpha}{4}}} \\ & =e^{3\cdot \frac{(2n+1)\pi-\alpha}{4}-3\cdot \frac{(2n-1)\pi-\alpha}{4}} \\ & =e^{\frac{3}{2}\pi} \end{align*} となるので, \[ \bm{C=\bunsuu{3}{2} \答_{ツテ}} \] \end{enumerate} \newpage \item 2曲線$y=x^2$,$y=x^3-x$の交点の$x$座標は, \begin{gather*} x^2=x^3-x \\ \therefore x^3-x^2-x=0 \\ \therefore x(x^2-x-1)=0 \\ \therefore x=0,~ \bunsuu{1\pm\sqrt{5}}{2} \end{gather*} よって, \[ \bm{\alpha=\bunsuu{1-\sqrt{5}}{2},~~ \beta=\bunsuu{1+\sqrt{5}}{2} \答_{トナニヌネノ}} \] また,2曲線$y=x^2$,$y=x^3-x$で囲まれた2つの図形の面積$S$,$T$は, \begin{align*} S & =\dint{\alpha}{0}\big\{(x^3-x)-x^2\big\}\,dx \\ % & =\dint{\alpha}{0}(x^3-x^2-x)\,dx \\ & =\teisekibun{\bunsuu{1}{4}x^4-\bunsuu{1}{3}x^3-\bunsuu{1}{2}x^2}{\alpha}{0} \\ & =0-\left(\bunsuu{1}{4}\alpha^4-\bunsuu{1}{3}\alpha^3-\bunsuu{1}{2}\alpha^2\right) \\ & =\bunsuu{1}{12}(-3\alpha^4+4\alpha^3+6\alpha^2) \end{align*} \vspace{-1zw} \begin{align*} T & =\dint{0}{\beta}\big\{x^2-(x^3-x)\big\}\,dx \\ % & =\dint{0}{\beta}(-x^3+x^2+x)\,dx \\ & =\teisekibun{-\bunsuu{1}{4}x^4+\bunsuu{1}{3}x^3+\bunsuu{1}{2}x^2}{0}{\beta} \\ & =\left(-\bunsuu{1}{4}\beta^4+\bunsuu{1}{3}\beta^3+\bunsuu{1}{2}\beta^2\right)-0 \\ & =\bunsuu{1}{12}(-3\beta^4+4\beta^3+6\beta^2) \end{align*} ここで,$f(x)=-3x^4+4x^3+6x^2$とおくと, \[ S=\bunsuu{1}{12}f(\alpha),~~ T=\bunsuu{1}{12}f(\beta) \] である. \newpage さらに,$\alpha$,$\beta$は2次方程式$x^2-x-1=0$の実数解なので, \[ \alpha^2-\alpha-1=0,~~ \beta^2-\beta-1=0 \] が成り立つことに注意すると,$f(x)$を$x^2-x-1$で割ったときの商と余りを用いて \[ f(x)=(x^2-x-1)(-3x^2+x+4)+5x+4 \] と変形すれば, \begin{align*} f(\alpha) & =(\alpha^2-\alpha-1)(-3\alpha^2+\alpha+4)+5\alpha+4 \\ & =0+5\cdot \bunsuu{1-\sqrt{5}}{2}+4 \\ & =\bunsuu{13-5\sqrt{5}}{2} \end{align*} \vspace{-1zw} \begin{align*} f(\beta) & =(\beta^2-\beta-1)(-3\beta^2+\beta+4)+5\beta+4 \\ & =0+5\cdot \bunsuu{1+\sqrt{5}}{2}+4 \\ & =\bunsuu{13+5\sqrt{5}}{2} \end{align*} よって, \begin{align*} S & =\bunsuu{1}{12}\cdot \bunsuu{13-5\sqrt{5}}{2} \\ & =\bm{\bunsuu{13-5\sqrt{5}}{24} \答_{ハヒフヘホマ}} \end{align*} \vspace{-1zw} \begin{align*} T & =\bunsuu{1}{12}\cdot \bunsuu{13+5\sqrt{5}}{2} \\ & =\bm{\bunsuu{13+5\sqrt{5}}{24} \答_{ミムメモヤユ}} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}