早稲田大学 教育学部<理科系> 2010年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 教育学部<理科系>
年度 2010年度
問No 問3
学部 教育学部
カテゴリ 三角関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\Vec#1{\overrightarrow{\mathstrut\hspace*{.5pt}\mathrm{#1}\hspace*{.5pt}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage}{\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}\makebox[2zw][c] {\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\parbox{130mm}{座標平面上で,C$_1$,\ C$_2$,\ C$_3$\ を,それぞれ, 中心が\ (0,\,0),\ (3,\,0),\ (5,\,0), \\[1mm]半径が\ 2,\ 1,\ 1である 円周とする。点\makebox[1.4zw][c]{P}は点\ (2,0)\ を出発点とし,\\[1mm]% 円周\ C$_1\,上を反時計回りに等速で\ 2a$秒で一周する。点\makebox[1.4zw] [c]{Q}は点\ (4,0) \\[1mm]を出発点とし,先ず円周\ C$_2\,上を 反時計回りに等速で\ a$\,秒で一周し,\\[1mm]続いて円周\ C$_3\,上 を時計回りに等速で\ a$秒で一周する。\\[1mm]% \quad 点\ P,\ Q\ が同時に出発するとき,線分\makebox[2zw][c]{PQ}の長さの 最大値と最小値\\[1mm]を求めよ。\\[1mm]\quad ただし,$a$\ は正の定数である。} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\[1mm] \quad\,t秒後の点\mbox{P}の座標は\Bigl(2\cos\frac{\,\pi\,}{a}t,\ \, 2\sin\frac{\,\pi\,}{a}t\Bigr)と表される。\\[2mm] (\makebox[2mm][c]{i})\ \ 0\leqq t\leqq aのとき\ \mbox{Q}\Bigl( 3+\cos\frac{\,2\pi\,}{a}t,\ \,\sin\frac{\,2\pi\,}{a}t\Bigr)と表され,\\[1.5mm] \makebox[84pt][r]{PQ$^2$}=\Bigl(2\cos\frac{\,\pi\,}{a}t-\cos\frac{\,2\pi\,} {a}t-3\Bigr)^{\!2}+\Bigl(2\sin\frac{\,\pi\,}{a}t-\sin\frac{\,2\pi\,}{a}t \Bigr)^{\!2} \\[2mm]\hspace*{84pt} =\Bigl(2\cos\frac{\,\pi\,}{a}t-\cos\frac{\,2\pi\,}{a}t\Bigr)^{\!2} -6\Bigl(2\cos\frac{\,\pi\,}{a}t-\cos\frac{\,2\pi\,}{a}t\Bigr)+9 \\[1mm] \hspace*{12zw} +\Bigl(2\sin\frac{\,\pi\,}{a}t-\sin\frac{\,2\pi\,}{a}t \Bigr)^{\!2} \\[2mm] \hspace*{84pt} =5-4\Bigl(\cos\frac{\,\pi\,}{a}t\cos\frac{\,2\pi\,}{a}t +\sin\frac{\,\pi\,}{a}t\sin\frac{\,2\pi\,}{a}t\Bigr) \\[1mm]\hspace*{12zw} -6\Bigl(2\cos\frac{\,\pi\,}{a}t-\cos\frac{\,2\pi\,}{a}t\Bigr)+9 \\[2mm] \hspace*{84pt} =5-4\cos\frac{\,\pi\,}{a}t-12\cos\frac{\,\pi\,}{a}t +6\Bigl(2\cos^2 \frac{\,\pi\,}{a}t-1\Bigr)+9 \\[2mm]\hspace*{84pt} =12\cos^2 \frac{\,\pi\,}{a}t-16\cos\frac{\,\pi\,}{a}t+8 \\[2mm] \hspace*{84pt} =12\Bigl(\cos\frac{\,\pi\,}{a}t-\frac{\,2\,}{3}\Bigr)^{\!2} +\frac{\,8\,}{3} \\[2.5mm] \quad\, 0\leqq\frac{\,\pi\,}{a}t\leqq \pi\ より-1\leqq\cos\frac{\,\pi\,}{a}t \leqq 1であり,\\[1mm]\hspace*{6zw} \cos\frac{\,\pi\,}{a}t=-1のとき最大値36,\ \ \cos\frac{\,\pi\,}{a}t =\frac{\,2\,}{3}\,のとき最小値\,\frac{\,8\,}{3} \\[3mm] (\makebox[2mm][c]{ii})\ \ a\leqq t\leqq 2\hspace*{.5pt}aのとき \\[1mm] \hspace*{4zw} \Vec{OQ\hspace*{.3pt}}=\biggl(5+\cos\Bigl(\pi-\frac{\,2\pi\,} {a}t\Bigr),\ \,\sin\Bigl(\pi-\frac{\,2\pi\,}{a}t\Bigr)\!\biggr) =\Bigl(-\cos\frac{\,2\pi\,}{a}t+5,\ \,\sin\frac{\,2\pi\,}{a}t\Bigr) \\[2mm] \quad と表され,\\[.5mm]\makebox[84pt][r] {PQ$^2$}=\Bigl(2\cos\frac{\,\pi\,}{a}t+\cos\frac{\,2\pi\,}{a}t-5\Bigr)^{\!2} +\Bigl(2\sin\frac{\,\pi\,}{a}t-\sin\frac{\,2\pi\,}{a}t\Bigr)^{\!2} \\[1.5mm] \hspace*{84pt} =\Bigl(2\cos\frac{\,\pi\,}{a}t+\cos\frac{\,2\pi\,}{a}t\Bigr) ^{\!2}-10\Bigl(2\cos\frac{\,\pi\,}{a}t+\cos\frac{\,2\pi\,}{a}t\Bigr)+25 \\[1mm]\hspace*{12zw} +\Bigl(2\sin\frac{\,\pi\,}{a}t-\sin\frac{\,2\pi\,}{a}t\Bigr)^{\!2} \\[1.5mm] \hspace*{84pt} =30+4\Bigl(\cos\frac{\,\pi\,}{a}t\cos\frac{\,2\pi\,}{a}t -\sin\frac{\,\pi\,}{a}t\sin\frac{\,2\pi\,}{a}t\Bigr) \\[1mm]\hspace*{12zw} -10\Bigl(2\cos\frac{\,\pi\,}{a}t+\cos\frac{\,2\pi\,}{a}t\Bigr) \\[1.5mm] \hspace*{84pt} =30+4\cos\frac{\,3\pi\,}{a}t-20\cos\frac{\,\pi\,}{a}t -10\cos\frac{\,2\pi\,}{a}t \\[2mm] \quad\, x=\cos\frac{\,\pi\,}{a}t,\ \,f(x)=\mbox{PQ}^2\,とおくと,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} -1\leqq x\leqq 1 \\[.5mm] \quad であり,\\ \makebox[8zw][r]{$f(x)$}=30+4(4x^3-3x)-20x-10(2x^2-1) \\ \hspace*{8zw} =16x^3-20x^2-32x+40 \\[.5mm] \hspace*{6zw} f'(x)=48x^2-40x-32=8\hspace*{.5pt}(2x+1)(3x-4) \\[1.5mm] \quad -1\leqq x\leqq 1においてf'(x)は-\Bigl(x+\frac{1}{\,2\,}\Bigr)と同符号 であるから,\ \ f(x)の増減は \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccc|} \hline\tabtopsp{2mm} x & -1 & & -\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,2\,} & & 1 \ \\[2mm] \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & 36 & \nearrow & 極大 & \searrow & 4 \ \\ \hline \end{array} \\[1.5mm]\hspace*{6zw} 最大値はf\Bigl(-\frac{1}{\,2\,}\Bigr)=-2-5+16+40=49,\ \ 最小値はf(1)=4 \\ [2mm]\raisebox{.5pt}{(\makebox[2mm][c]{i}),\ (\makebox[2mm][c]{ii})}より \\ \hspace*{6zw} \mbox{PQ}の最大値は\,\sqrt{\hspace*{1pt}49\,}=7,\ \ 最小値は\,\sqrt{\frac{\,8\,}{3}}=\frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{3} \ \ \ (答) $ \end{document}