富山大学 前期 2003年度 問3

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解答作成者: 石谷 京介

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入試情報

大学名 富山大学
学科・方式 前期
年度 2003年度
問No 問3
学部 人文学部 ・ 人間発達科学部 ・ 経済学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 芸術文化学部
カテゴリ 二次関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,12pt]{jarticle} \input{style.tex} \usepackage{amsmath,ceo,custom_suseum,emathMw} \begin{document} \begin{FRAME} 正の定数$a$に対して$f\left( x \right)=ax^{2}+a\left( a-3 \right) x+1$とおくとき,次の問いに答えよ。\\ (1) 2次関数$f\left( x \right) $の最小値を$a$を用いて表せ。\\ (2) $x \ge 0$のとき,$f\left( x \right) \ge 0$であることを証明せよ。 \end{FRAME} \Shomon $f\left( x \right) $を変形して, \begin{align*} f\left( x \right)&=a\left\{ x^{2}+\left( a-3 \right) x+\displaystyle \frac{\left( a-3 \right) ^{2}}{4} \right\} -\displaystyle \frac{\left( a-3 \right) ^{2}}{4a}+1\\ &=a\left( x+\displaystyle \frac{a-3}{2} \right) ^{2}-\displaystyle \frac{a^{2}-10a+9}{4a} \end{align*} よって最小値は$f\left( \displaystyle \frac{3-a}{2} \right) =${\boldmath $-\displaystyle \frac{a^{2}-10a+9}{4a}$}\\ \Shomon 最小値が0以上であれば$f\left( x \right) \ge 0$が成立することになる。\\ \begin{mawarikomi}{200pt}{\input{graph1.tex}} $\displaystyle \frac{a-3}{2} \ge 0 \douti a \le 3$のとき,$x \ge 0$における最小値は\\ $f\left( \displaystyle \frac{3-a}{2} \right) =-\displaystyle \frac{a^{2}-10a+9}{4a}=-\displaystyle \frac{a}{4}-\displaystyle \frac{9}{4a}+\displaystyle \frac{5}{2}$であり,\\ $\displaystyle \frac{a}{4},\displaystyle \frac{9}{4a}$がともに正であるので相加・相乗平均の関係により,\\ $\displaystyle \frac{a}{4}+\displaystyle \frac{9}{4a} \ge 2\sqrt{\displaystyle \frac{9}{16}}=\displaystyle \frac{3}{2} \douti -\displaystyle \frac{a}{4}-\displaystyle \frac{9}{4a} \le -\displaystyle \frac{3}{2}$\\ 従って,$-\displaystyle \frac{a}{4}-\displaystyle \frac{9}{4a}+\displaystyle \frac{5}{2} \le \displaystyle \frac{5}{2}-\displaystyle \frac{3}{2}=1$となり,$a \le 3$のとき$f\left( x \right) \ge 0$が成立することがわかる。\\ \end{mawarikomi} \begin{mawarikomi}{200pt}{\input{graph2.tex}} $\displaystyle \frac{a-3}{2} \le 0 \douti a \ge 3$のとき,$x \ge 0$における最小値は\\ $f\left( 0 \right) =1$よりこのときも$f\left( x \right) \ge 0$が成立することがわかる。\\ \end{mawarikomi} 以上より,$x \ge 0$のとき$f\left( x \right) \ge 0$である。\\ \end{document}