富山大学 前期 2003年度 問2

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解答作成者: 石谷 京介

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入試情報

大学名 富山大学
学科・方式 前期
年度 2003年度
問No 問2
学部 人文学部 ・ 人間発達科学部 ・ 経済学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 芸術文化学部
カテゴリ 二次関数 ・ 三角関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt]{jarticle} \input{style.tex} \usepackage{ceo,custom_suseum} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent$k$を実数の定数として, \\ $f\left( \theta \right) =\displaystyle \frac{1}{2}\cos 2\theta +2k\sin\theta +\displaystyle \frac{k}{3}-\displaystyle \frac{7}{6}$ とおく。このとき次の問いに答えよ。\\ (1) $x=\sin\theta $とおくとき,$f\left( \theta \right) $を$x$で表した式を$g\left( x \right) $とする。$g\left( x \right) $を求めよ。\\ (2) $x$についての方程式$g\left( x \right) =0$が$0<x<1$の範囲に重解をもつとき,$k$の値を求めよ。\\ (3) $\theta$についての方程式$f\left( \theta \right) =0$が$0^\circ <\theta <180^\circ $の範囲に異なる2つの実数解を持つような$k$の値の範囲を求めよ。 \end{FRAME} \Shomon 与式を変形して,$f\left( \theta \right) =\displaystyle \frac{1}{2}\left( 1-2sin^{2}\theta \right) +2ksin\theta +\displaystyle \frac{k}{3}-\displaystyle \frac{7}{6}$となるので, \\ $g\left( x \right) =\displaystyle \frac{1}{2}\left( 1-2x^{2} \right) +2kx+\displaystyle \frac{k}{3}-\displaystyle \frac{7}{6}=${\boldmath $-x^{2}+2kx+\displaystyle \frac{k}{3}-\displaystyle \frac{2}{3}$}\\ \Shomon $g\left( x \right) =0$の判別式を4で割ったものは,$k^{2}+\displaystyle \frac{k}{3}-\displaystyle \frac{2}{3}$であるので,\\ $g\left( x \right) =0$が重解を持つとき, \\ $k^{2}+\displaystyle \frac{k}{3}-\displaystyle \frac{2}{3}=0$が成立し,この解は,$k=-1,\displaystyle \frac{2}{3}$ \\ また$g\left( x \right) =0$が重解を持つときその重解は$x=k$であり, \\ $0<x<1$の範囲になくてはならないから{\boldmath $k=\displaystyle \frac{2}{3}$}\\ \Shomon $0^\circ <\theta <180^\circ $のとき$0<x \le 1$である。\\ しかし$x=1$が解であるとき,これに対応する$\theta $はただひとつしか存在せず, \\ これに$0<x<1$の範囲で他の解が存在すれば解の総数は3つとなり, \\ 存在しなければ解の総数は1つであるから,題意を満たすとき$x=1$を解に持たない。 \\ よって題意を満たすのは, \\ \MARU{1}$g\left( x \right) =0$が,$0<x<1$の範囲で重解を持つとき \\ \MARU{2}$g\left( x \right) =0$が異なる2つの実数解を持ち,片方のみが$0<x<1$の範囲にある \\ この2つのどちらかである。 \\ \MARU{1}は(2)の結果である。 \\ \MARU{2}は$g\left( 0 \right) g\left( 1 \right) <0$と表すことができる。 \\ $g\left( 0 \right) g\left( 1 \right) =\left( \displaystyle \frac{k-2}{3} \right) \left( \displaystyle \frac{7k-5}{3} \right) $より,$g\left( 0 \right) g\left( 1 \right) <0 \Leftrightarrow \displaystyle \frac{5}{7}<k<2$ \\ 以上より,{\boldmath $k=\displaystyle \frac{2}{3},\frac{5}{7}<k<2$} \end{document}