富山大学 前期 2002年度 問3

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解答作成者: 石谷 京介

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入試情報

大学名 富山大学
学科・方式 前期
年度 2002年度
問No 問3
学部 人文学部 ・ 人間発達科学部 ・ 経済学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 芸術文化学部
カテゴリ 三角関数 ・ 積分法 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,12pt]{jarticle} \input{style.tex} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb,ceo,custom_suseum} \begin{document} \begin{FRAME} 連続関数$f\left( x \right) $が\\ $f\left( x \right) =\sin x+\displaystyle \frac{1}{\pi}\displaystyle \int_{0}^{\pi}f\left( t \right) \sin\left( x-t \right) dt$ を満たすとき,次の問いに答えよ。\\ (1) $f\left( x \right) $は$A,B$を定数として$f\left( x \right) =A\sin x-B\cos x$と表されることを示せ。\\ (2) $f\left( x \right) $を求めよ。 \end{FRAME} \Shomon $\sin\left( x-t \right) =\sin x\cos t-\cos x\sin t$より, \begin{align*} f\left( x \right)&=\sin x+\displaystyle \frac{\sin x}{\pi}\displaystyle \int_{0}^{\pi}f\left( t \right) \cos tdt-\displaystyle \frac{\cos x}{\pi}\displaystyle \int_{0}^{\pi}f\left( t \right) \sin tdt \\ &=\left\{ 1+\displaystyle \frac{1}{\pi}\displaystyle \int_{0}^{\pi}f\left( t \right) \cos tdt \right\} \sin x-\displaystyle \frac{1}{\pi}\left\{ \displaystyle \int_{0}^{\pi}f\left( t \right) \sin tdt \right\} \cos x \end{align*} 定積分は定数であるから$A=1+\displaystyle \frac{1}{\pi }\displaystyle \int_{0}^{\pi }f\left( t \right) \cos tdt,B=\displaystyle \frac{1}{\pi }\displaystyle \int_{0}^{\pi }f\left( t \right) \sin tdt$に対して,\\ $f\left( x \right) =A\sin x-B\cos x$が成り立つ。\\ \Shomon (1)の結果から,$\left\{ \begin{array}{@{\,} l @{\,}} A=1+\displaystyle \frac{1}{\pi}\displaystyle \int_{0}^{\pi}\left( A\sin t-B\cos t \right) \cos tdt \\[0mm] B=\displaystyle \frac{1}{\pi}\displaystyle \int_{0}^{\pi}\left( A\sin t-B\cos t \right) \sin tdt \end{array} \right. $ \cdots \MARU{*} \begin{align*} \displaystyle \int_{0}^{\pi }\left( A\sin t-B\cos t \right) \cos tdt&=\displaystyle \int_{0}^{\pi}\left( \displaystyle \frac{A}{2}\sin2t-B\displaystyle \frac{1+\cos2t}{2} \right) dt\\ &=\left[ -\displaystyle \frac{A}{4}\cos2t-\displaystyle \frac{B}{2}t-\displaystyle \frac{B}{4}\sin2t \right] _{0}^{\pi}\\ &=-\displaystyle \frac{B}{2}\pi \end{align*} \begin{align*} \displaystyle \int_{0}^{\pi}\left( A\sin t-B\cos t \right) \sin tdt&=\displaystyle \int_{0}^{\pi}\left( A\displaystyle \frac{1-\cos2t}{2}-\displaystyle \frac{B}{2}\sin2t \right) dt\\ &=\left[ \displaystyle \frac{A}{2}t-\displaystyle \frac{A}{4}\sin2t+\displaystyle \frac{B}{4}\cos2t \right] _{0}^{\pi}\\ &=\displaystyle \frac{A}{2}\pi \end{align*} {\gtfamily 以上より,\MARU{*}$\douti \left\{ \begin{array}{@{\,} l @{\,}} A=1-\displaystyle \frac{B}{2} \\[0mm] B=\displaystyle \frac{A}{2} \end{array} \right. $これをといて,$\left\{ \begin{array}{@{\,} l @{\,}} A=\displaystyle \frac{4}{5} \\[0mm] B=\displaystyle \frac{2}{5} \end{array} \right. $} \\ {\boldmath $\therefore f\left( x \right) =\displaystyle \frac{4}{5}\sin x-\displaystyle \frac{2}{5}\cos x$} \end{document}