富山大学 前期 2002年度 問2

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解答作成者: 石谷 京介

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入試情報

大学名 富山大学
学科・方式 前期
年度 2002年度
問No 問2
学部 人文学部 ・ 人間発達科学部 ・ 経済学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 芸術文化学部
カテゴリ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt]{jarticle} \usepackage{ceo,custom_suseum} \input{style.tex} \begin{document} \begin{FRAME} 1個のさいころを3回投げて,1回目の目の数を$X_{1}$,2回目の目の数を$X_{2}$,3回目の目の数を$X_{3}$とするとき,次の問いに答えよ。\\ (1) $X_{1}+X_{2}+X_{3} \le 4$となる確率を求めよ。\\ (2) 積$X_{1}X_{2}X_{3}$が偶数となる確立を求めよ。\\ (3) $\cos\left( 180 ^\circ X_{1}X_{2}X_{3} \right) $期待値を求めよ。 \end{FRAME} \Shomon 全事象は$6^{3}$通り。さらに$X_{1}+X_{2}+X_{3}$の取り得る値は3以上であるから, \\ $X_{1}+X_{2}+X_{3} \le 4$を満たすのは,$X_{1}+X_{2}+X_{3}=3,4$しかない。 \\ $X_{1}+X_{2}+X_{3}=3$のとき,$X_{1}=X_{2}=X_{3}=1$の1通り。 \\ $X_{1}+X_{2}+X_{3}=4$のとき,$\left( X_{1},X_{2},X_{3} \right) =\left( 1,1,2 \right) ,\left( 1,2,1 \right) ,\left( 2,1,1 \right) $の3通り。 \\ 以上より求める確率は,$\displaystyle \frac{4}{6^{3}}=${\boldmath$\displaystyle \frac{1}{54}$} \\ \Shomon $X_{1}X_{2}X_{3}$が偶数であることと$X_{1}X_{2}X_{3}$が奇数であることは排反であり, \\ $X_{1}X_{2}X_{3}$が奇数であることと$X_{1},X_{2},X_{3}$すべてが奇数であることは同値である。 \\ さいころの目の数の中で奇数は1,3,5であるから, \\ $X_{1},X_{2},X_{3}$すべてが奇数であるのは,$3^{3}$通りある。 \\ 従って求める確率は,$1-\displaystyle \frac{3^{3}}{6^{3}}=${\boldmath$\displaystyle \frac{7}{8}$} \\ \Shomon $X_{1}X_{2}X_{3}$が奇数のとき,$n$を0以上の整数として,$X_{1}X_{2}X_{3}=2n+1$と表すことができる。 \\ このとき,$\cos\left( 180 ^\circ X_{1}X_{2}X_{3} \right) =\cos\left( 180 ^\circ +360 ^\circ n \right) =\cos 180^\circ =-1$ \\ $X_{1}X_{2}X_{3}$が偶数のとき,$m$を自然数として,$X_{1}X_{2}X_{3}=2m$と表すことができる。 \\ このとき,$\cos\left( 180 ^\circ X_{1}X_{2}X_{3} \right) =\cos 360^\circ m =1$ \\ また,$X_{1},X_{2},X_{3}$の奇数,偶数となるそれぞれの確率は前述の通り,それぞれ,$\displaystyle \frac{1}{8},\displaystyle \frac{7}{8}$である。 \\ 以上より求める期待値は,$-\displaystyle \frac{1}{8}+\displaystyle \frac{7}{8}=${\boldmath$\displaystyle \frac{3}{4}$} \\ \end{document}