富山大学 前期 2002年度 問1

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解答作成者: 石谷 京介

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入試情報

大学名 富山大学
学科・方式 前期
年度 2002年度
問No 問1
学部 人文学部 ・ 人間発達科学部 ・ 経済学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 芸術文化学部
カテゴリ 方程式と不等式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,12pt]{jarticle} \input{style.tex} \setlength{\textwidth}{500pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{ceo,custom_suseum} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent $a>0,a \neq 1$のとき,不等式 \\ $a^{2x-1}-a^{x+2}-a^{x-3}+1 \le 0$\\ を満たす$x$の範囲を求めよ。 \end{FRAME} 左辺を変形すると, \\ $\displaystyle \frac{\left( a^{x} \right) ^{2}}{a}-a^{2}a^{x}-\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{3}}+1$であり,$X=a^{x}$とおくとこの式は, 以下のように表される。\\ \begin{align*} \displaystyle \frac{X^{2}}{a}&-a^{2}X-\displaystyle \frac{X}{a^{3}}+1\\ &=\displaystyle \frac{1}{a^{3}}\left( a^{2}X^{2}-a^{5}X-X+a^{3} \right)\\ &=\displaystyle \frac{1}{a^{3}}\left\{ a^{2}X\left( X-a^{3} \right) -\left( X-a^{3} \right) \right\}\\ &=\displaystyle \frac{1}{a^{3}}\left( a^{2}X-1 \right) \left( X-a^{3} \right)\\ &=\displaystyle \frac{1}{a}\left( X-a^{-2} \right) \left( X-a^{3} \right) \ \end{align*} 従って,$a>0$より,与式$ \douti \displaystyle \frac{1}{a}\left( X-a^{-2} \right) \left( X-a^{3} \right) \le 0 \douti \left( X-a^{-2} \right) \left( X-a^{3} \right) \le 0$ \cdots \MARU{*}\\ と表される。\\ $a<1$のとき,$a^{-2}>a^{3}$より,\MARU{*}$\douti a^{3} \le X \le a^{-2} \douti a^{3} \le a^{x} \le a^{-2} \douti -2 \le x \le 3$\\ $a>1$のとき,$a^{-2}<a^{3}$より,\MARU{*}$\douti a^{-2} \le X \le a^{3} \douti a^{-2} \le a^{x} \le a^{3} \douti -2 \le x \le 3$\\ 以上より,{\boldmath $-2 \le x \le 3$} \end{document}