学習院大学 経済学部 2009年度 問3

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 学習院大学
学科・方式 経済学部
年度 2009年度
問No 問3
学部 経済学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \usepackage{amsmath,amssymb} \begin{document} \begin{FRAME} 平面上の 4 点 O,$\mathrm{P_1}$,$\mathrm{P_2}$,$\mathrm{P_3}$ は $\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_1}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_2}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_3}}}=\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{0}}}$ を満たすとする.このとき,同じ平面上の 2 点 Q,R に対して\\ \[ |\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{QP_1}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{QP_2}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{QP_3}}}|^2-3|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OQ}}}|^2=|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{RP_1}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{RP_2}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{RP_3}}}|^2-3|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OR}}}|^2 \] が成り立つことを示せ. \begin{flushright} (40点) \end{flushright} \end{FRAME} \begin{flushleft} \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}$n=1,2,3$ として, \setlength{\mathindent}{1zw} \begin{equation*} \begin{split} |\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{QP}_n}}|^2&=|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP}_n}}-\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OQ}}}|^2\\ &=|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP}_n}}|^2-2\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP}_n}}\cdot \overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OQ}}}+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OQ}}}|^2\hspace*{1zw}より,\\ \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}$|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{QP_1}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{QP_2}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{QP_3}}}|^2-3|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OQ}}}|^2$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}$=|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_1}}}|^2-2\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_1}}}\cdot \overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OQ}}}+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OQ}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_2}}}|^2-2\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_2}}}\cdot \overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OQ}}}+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OQ}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_3}}}|^2-2\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_3}}}\cdot \overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OQ}}}+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OQ}}}|^2-3|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OQ}}}|^2$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}$=|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_1}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_2}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_3}}}|^2-2\big(\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_1}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_2}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_3}}}\big)\cdot \overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OQ}}}$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}$=|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_1}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_2}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_3}}}|^2\hspace*{1zw}\big(\because \hspace*{0.5zw}\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_1}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_2}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_3}}}=\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{0}}}\big)$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}また, \begin{equation*} \begin{split} |\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{RP}_n}}|^2&=|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP}_n}}-\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OR}}}|^2\\ &=|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP}_n}}|^2-2\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP}_n}}\cdot \overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OR}}}+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OR}}}|^2\hspace*{1zw}より,\\ \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}$|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{RP_1}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{RP_2}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{RP_3}}}|^2-3|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OR}}}|^2$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}$=|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_1}}}|^2-2\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_1}}}\cdot \overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OR}}}+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OR}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_2}}}|^2-2\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_2}}}\cdot \overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OR}}}+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OR}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_3}}}|^2-2\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_3}}}\cdot \overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OR}}}+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OR}}}|^2-3|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OR}}}|^2$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}$=|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_1}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_2}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_3}}}|^2-2\big(\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_1}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_2}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_3}}}\big)\cdot \overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OR}}}$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}$=|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_1}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_2}}}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_3}}}|^2\hspace*{1zw}\big(\because \hspace*{0.5zw}\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_1}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_2}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{OP_3}}}=\overrightarrow{\mathstrut{\mathrm{0}}}\big)$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}故に,与式は示された. \end{flushleft} \end{document}