富山大学 前期 1998年度 問3

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解答作成者: 石谷 京介

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入試情報

大学名 富山大学
学科・方式 前期
年度 1998年度
問No 問3
学部 人文学部 ・ 人間発達科学部 ・ 経済学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 芸術文化学部
カテゴリ 微分法と積分法 ・ 微分法 ・ 微分法の応用 ・ 積分法 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt]{jarticle} \usepackage{custom_suseum,emathMw,ceo} \setlength{\hoffset}{-45pt} \setlength{\voffset}{-100pt} \setlength{\oddsidemargin}{0pt} \setlength{\marginparwidth}{0pt} \setlength{\textwidth}{540pt} \setlength{\textheight}{700pt} \begin{document} \Shomon 条件(ii)の$f'\left( x \right) $を積分して, \\ $f\left( x \right) =\left\{ \begin{array}{@{\,} l @{\,}} x^{2}+C_{1} \\[0mm] ax+C_{2} \end{array} \right. $である。($C_{1},C_{2}$は積分定数)\\ $f\left( x \right) $は連続であるから,次のことが成立。\\ $\displaystyle \lim_{x \to +0}f\left( x \right) =f\left( 0 \right) =0 \douti C_{1}=0$ \\ $\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f\left( x \right) =\displaystyle \lim_{x \to 1+0}f\left( x \right) \douti 1=a+C_{2} \douti C_{2}=1-a$\\ かつ$f\left( 1 \right) =1$ \\ さらに,条件(i)から$f\left( 2 \right) =f\left( 0 \right) =0$であるので,同様に, \\ $\displaystyle \lim_{x \to 2-0}f\left( x \right) =0 \douti 2a+C_{2}=0 \douti 2a+1-a=0 \douti a=-1\left( C_{2}=1-a \right) $ これより$C_{2}=2$\\ 以上のことから,{\boldmath$a=-1$}$f\left( x \right) =\left\{ \begin{array}{@{\,} l @{\,}} x^{2} \left( 0<x<1 \right) \\[0mm] -x+2\left( 1<x<2 \right) \end{array} \right. $である。そのグラフは次に示す通りである。 \input{graph1.tex}\\ \Shomon \begin{mawarikomi}{}{\input{graph2.tex}} $0<x<2$において$x$軸と$y=f\left( x \right) $のグラフとで囲まれる部分の面積は,\\ $\displaystyle \int_{0}^{1}x^{2}dx+\displaystyle \int_{1}^{2}\left( -x+2 \right) dx=\left[ \displaystyle \frac{x^{3}}{3} \right] _{0}^{1}+\left[ -\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+2x \right] _{1}^{2}=\displaystyle \frac{5}{6}$\\ であるから,右図より,$k$が偶数のとき,$S\left( k \right) =\displaystyle \frac{5}{6} \times \displaystyle \frac{k}{2}=\displaystyle \frac{5k}{12}$\\ \\\\\\\\ \end{mawarikomi} \begin{mawarikomi}{}{\input{graph3.tex}} この結果から,右図より,$k$が奇数のときを考える\\ この面積は,$k+1$が偶数であることより、\\ $\displaystyle \frac{5}{12}\left( k+1 \right)$から,底辺1,高さ$\displaystyle \frac{1}{2}$の三角形の面積を引けばよいので,\\ \noindent $S\left( k \right) =\displaystyle \frac{5}{12}\left( k+1 \right) -\displaystyle \frac{1}{4}=\displaystyle \frac{5}{12}k+\displaystyle \frac{1}{6}$\\\\\\\\ \end{mawarikomi} {\boldmath\noindent $k$が奇数のとき,$S\left( k \right) =\displaystyle \frac{5}{12}k+\displaystyle \frac{1}{6},k$が偶数のとき,$S\left( k \right) =\displaystyle \frac{5}{12}k$\\} \Shomon $n$を偶数として,$\displaystyle \frac{5}{12}n \le S\left( k \right) \le \displaystyle \frac{5}{12}\left( n+1 \right) +\displaystyle \frac{1}{6}$と表すと,$S\left( k \right) =4$であるから,$n=9$であるので,不適。\\ $m$を奇数として,$\displaystyle \frac{5}{12}m+\displaystyle \frac{1}{6} \le S\left( k \right) \le \displaystyle \frac{5}{12}\left( m+1 \right) $と表すと,$S\left( k \right) =4$であるから,$m=9$であり適する。\\\\ \begin{mawarikomi}{}{\input{graph4.tex}} 従って,$9<k<10$であることがわかり,右図から, \\ $S\left( k \right) =\displaystyle \frac{5}{12} \times 10-\displaystyle \frac{1}{2}\left( 10-k \right) \times \displaystyle \frac{1}{2}\left( 10-k \right) =\displaystyle \frac{25}{6}-\displaystyle \frac{1}{4}\left( k-10 \right) ^{2}$ \end{mawarikomi} \noindent $S\left( k \right) =4$として,整理すると,$3k^{2}-60k+298=0$となり,$9<k<10$から, \\ {\boldmath $k=10-\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}$} \end{document}