富山大学 前期 1998年度 問2

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解答作成者: 石谷 京介

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入試情報

大学名 富山大学
学科・方式 前期
年度 1998年度
問No 問2
学部 人文学部 ・ 人間発達科学部 ・ 経済学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 芸術文化学部
カテゴリ 微分法と積分法 ・ 微分法 ・ 微分法の応用 ・ 積分法 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt]{jarticle} \usepackage{amssymb,ceo,custom_suseum,emathMw} \setlength{\hoffset}{-45pt} \setlength{\voffset}{-100pt} \setlength{\oddsidemargin}{0pt} \setlength{\marginparwidth}{0pt} \setlength{\textwidth}{540pt} \begin{document} \begin{FRAME} 直線$y=-x+1$は点$P\left( t,-t+1 \right) \left( 0<t \le 1 \right) $で放物線$C:y=ax^{2}+bx$に接している。$C$と$x$軸の交点で原点$O$でないものを$Q$とするとき,次の問いに答えよ。\\ (1) $a,b$を$t$で表せ。\\ (2) 三角形$OPQ$の面積を$S$を$t$で表せ。\\ (3) $S$の最大値を求めよ。 \end{FRAME} \Shomon \begin{mawarikomi}[5]{}{\input{graph1.tex}} また,$y=-x+1$を$y=ax^{2}+bx$を連立すると,\\ $-x+1=ax^{2}+bx$となり,\\ この式を変形して,$ax^{2}+\left( b+1 \right) x-1=0$を得る。\\ これが重解を持つので,$\left( b+1 \right)^{2}+4a=0$\\ また,その解は$t$であるから,\\ $at^{2}+\left( b+1 \right) t-1=0 \douti b+1=\displaystyle \frac{1-at^{2}}{t} (\because$ グラフより明らかに$t \neq 0$)\\ この2式から,{\boldmath $a=-\displaystyle \frac{1}{t^{2}},b=\displaystyle \frac{2}{t}-1$}\\ \end{mawarikomi} \Shomon (1)の結果より,$C:y=-\displaystyle \frac{x^{2}}{t^{2}}+\left( \displaystyle \frac{2}{t}-1 \right) x=x\left( -\displaystyle \frac{x}{t^{2}}+\displaystyle \frac{2}{t}-1 \right) $と表せる。 \\ 従って,$Q\left( 2t-t^{2},0 \right) $であるから,$S=\displaystyle \frac{1}{2}\left( 2t-t^{2} \right) \left( -t+1 \right) =\displaystyle \frac{1}{2}t\left( t-1 \right) \left( t-2 \right) $ \\ $\therefore$ {\boldmath $S=\displaystyle \frac{1}{2}t\left( t-1 \right) \left( t-2 \right)$}\\ \Shomon (2)の式を展開して,$S=\displaystyle \frac{1}{2}t^{3}-\displaystyle \frac{3}{2}t^{2}+t$これを$t$で微分して,$S'=\displaystyle \frac{3}{2}t^{2}-3t+1$\\ 従って$S$の増減は以下のようになる。\\ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline t & 0 & & 1-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} & & 1 \\ \hline S' & + & + & 0 & - & - \\ \hline S & 0 & \yaa & \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{9} & \yab & 0 \\ \hline \end{array}$\\ 上表より最大値は{\boldmath $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{9}$}\\ \end{document}