すうじあむ

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No	メッセージ	投稿者	日時
1	大小比較について より としました。 どうでしょうか。	sjt33846 さん	2010/03/18 08:16:48		報告
2	で評価しても より解が絞られますので， よろしいかと思います。 解答は，原則通り「できるだけ厳しく評価する」方針でまとめてあります。	大塚　美紀生 さん	2010/03/18 15:09:05		報告
3	ありがとうございました。 できるだけ厳しい評価をする方が 応用性があることは もちろん承知しています。 私は、なるべく計算が少ないように、という方針の解答を考えています。	sjt33846 さん	2010/03/19 07:12:59		報告

\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=150mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\kobox#1{{\fboxsep=0.7mm\framebox[14mm][c]{\small #1}}} \def\ansbox#1{\setlength{\fboxsep}{1.5mm}\fbox{$#1$}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \def\kakomi#1{\,\raisebox{1pt}{$\ulcorner$}#1\raisebox{-1pt}{$\lrcorner$}\,} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[1.5zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.8zw}\parbox{146mm} {\quad\textbf{設\hspace*{-.3pt}問\ \paalen{\makebox[9.5pt][c]{1}},\hspace*{5pt}% \paalen{\makebox[9pt][c]{3}},\hspace*{5pt}\paalen{\makebox[9pt][c]{4}}\ では， 文\hspace*{-.4pt}章\hspace*{-.4pt}の\hspace*{-.4pt}空\hspace*{-.4pt}欄\hspace* {-.4pt}に\hspace*{-.4pt}適\hspace*{-.4pt}切\hspace*{-.4pt}な\hspace*{-.4pt}数% \hspace*{-.4pt}ま\hspace*{-.4pt}た\hspace*{-.4pt}は\hspace*{-.4pt}式\hspace* {-.4pt}を\hspace*{-.4pt}入\hspace*{-.4pt}れ\hspace*{-.4pt}て\hspace*{-.4pt}文% \hspace*{-.4pt}章\hspace*{-.4pt}を\hspace*{-.4pt}完\hspace*{-.4pt}成\hspace* {-.4pt}さ\hspace*{-.4pt}せ\hspace*{-.4pt}な}\\[1.5mm]\textbf{さ\hspace*{-.5pt}% い。\paalen{空\hspace*{-.5pt}欄\hspace*{-.5pt}に\hspace*{-.5pt}入\hspace* {-.5pt}れる\hspace*{-.5pt}適\hspace*{-.5pt}切\hspace*{-.5pt}な\hspace*{-.5pt}% 数\hspace*{-.5pt}ま\hspace*{-.5pt}た\hspace*{-.5pt}は\hspace*{-.5pt}式\hspace* {-.5pt}が\hspace*{-.5pt}複\hspace*{-.5pt}数\hspace*{-.5pt}個\hspace*{-.5pt}あ% \hspace*{-.5pt}る\hspace*{-.5pt}場\hspace*{-.5pt}合\hspace*{-.5pt}は，そ\hspace* {-.5pt}れ\hspace*{-.5pt}ら\hspace*{-.5pt}を\hspace*{-.5pt}す\hspace*{-.5pt}べ% \hspace*{-.5pt}て\hspace*{-.5pt}答\hspace*{-.5pt}え\hspace*{-.5pt}な\hspace* {-.5pt}さ\hspace*{-.5pt}い。\hspace*{-5pt}}}\\[1.5mm]\textbf{ま\hspace*{-.5pt}% た，設\hspace*{-.5pt}問\ \paalen{\makebox[9.5pt][c]{2}}\ に\hspace*{-.5pt}答% \hspace*{-.5pt}え\hspace*{-.5pt}な\hspace*{-.5pt}さ\hspace*{-.5pt}い。}\\[5mm]% \quad\,$xの多項式f_n(\makebox[8pt][c]{$x$})\ (n=0,\ 1,\ \cdots)をf_0^{}( \makebox[8pt][c]{$x$})=1\hspace*{1pt},\ \,f_1^{}(\makebox[8pt][c]{$x$})=x, \\[1.5mm] \hspace*{9zw} f_{n+1}(\makebox[8pt][c]{$x$})=2xf_n(\makebox[8pt][c]{$x$}) -f_{n-1}(\makebox[8pt][c]{$x$}) \qquad (n=1,\ 2,\ \cdots) \\[1.5mm] により順に定める。\\[5mm]% \makebox[4zw][l]{\quad\,(\makebox[1zw][c]{1})} f_5(\makebox[8pt][c]{$x$})を具体 的に求めるとf_5(\makebox[8pt][c]{$x$})=\kobox{\paalen{あ}}\ であり，方程式 f_5(\makebox[8pt][c]{$x$})=0を解く \\[1.5mm] \hspace*{3zw} とx=\kobox{\paalen{い}}\ である。\\[5mm]% \makebox[4zw][l]{\quad\,(\makebox[1zw][c]{2})}n=1\hspace*{1pt},\ 2,\ \cdots\,に \hspace*{-.5pt}対\hspace*{-.5pt}し\hspace*{-.5pt}て，\ \,f_n(\cos\theta)=\cos n \theta\ であることを示しなさい。\\[5mm]% \quad\,\raisebox{.5pt}{(\makebox[1zw][c]{3})\quad(\makebox[1zw][c]{1})}\hspace* {5pt}と\hspace*{5pt}\raisebox{.5pt}{(\makebox[1zw][c]{2})}\hspace*{5pt}を用いて \cos\dfrac{\pi}{\,10\,}\,の値を求めると\ \kobox{\paalen{う}}\ である。\\[5mm]% \makebox[4zw][l]{\quad\,(\makebox[1zw][c]{4})} nを3以上の奇数とする。関数 y\makebox[12pt][c]{=}f_n(\makebox[8pt][c]{$x$})\hspace*{2pt}(\hspace*{1pt}-1\, \mbox{\large$<$}\,x\,\mbox{\large$<$}\,1\hspace*{1pt})は極大値\, \kobox{\paalen{え}}\,をと\\[1.5mm]\hspace*{3zw}る。こ\hspace*{-.5pt}の\hspace* {-.5pt}極\hspace*{-.5pt}大\hspace*{-.5pt}値\hspace*{-.5pt}を\hspace*{-.5pt}と \hspace*{-.5pt}るxの値す\hspace*{-.3pt}べ\hspace*{-.3pt}て\hspace*{-.3pt}をnを \hspace*{-.5pt}用\hspace*{-.5pt}い\hspace*{-.5pt}た\hspace*{-.5pt}式\hspace* {-.5pt}で\hspace*{-.5pt}表\hspace*{-.5pt}す\hspace*{-.5pt}と x=\kobox{\paalen{お}}\,である。$} \end{FRAME} \quad \\ (\makebox[1zw][c]{1})\ \ 与えられた漸化式より $\displaystyle \\ \hspace*{6zw} f_0^{}(x)=1,\\ \hspace*{6zw} f_1^{}(x)=x,\\ \hspace*{6zw} f_2^{}(x)=2x\ten x-1=2x^2-1, \\ \hspace*{6zw} f_3^{}(x)=2x(2x^2-1)-x=4x^3-3x, \\ \hspace*{6zw} f_4^{}(x)=2x(4x^3-3x)-(2x^2-1)=8x^4-8x^2+1, \\[.5mm]\makebox [88pt][r]{$f_5^{}(x)$}=2x(8x^4-8x^2+1)-(4x^3-3x) \\[1mm]\hspace*{88pt} =\ansbox{16x^5-20x^3+5x}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(あ)} \\[1.5mm] \hspace*{88pt} =16x\Bigl(x^4-\frac{5}{\,4\,}x^2+\frac{5}{\,16\,}\Bigr) \\ [1.5mm]\hspace*{88pt} =16x\hspace*{1pt}\biggl\{\Bigl(x^2-\frac{5}{\,8\,} \Bigr)^{\!2}-\frac{5}{\,64\,}\biggr\} \\[1.5mm] \hspace*{88pt} =16x\hspace*{.5pt}\biggl(x^2-\frac{\,5+\sqrt{\,5\,}\,}{8} \biggr)\biggl(x^2-\frac{\,5-\sqrt{\,5\,}\,}{8}\biggr) \\[2mm] \hspace*{88pt} =16x\hspace*{.5pt}\biggl(x^2-\frac{\,10+2\sqrt{\,5\,}\,}{16} \biggr)\biggl(x^2-\frac{\,10-2\sqrt{\,5\,}\,}{16}\biggr) \\[2mm] \quad 方程式f_5^{}(x)=0の解は \\[1mm]\hspace*{6zw} x=\ansbox{\,0,\ \pm\dfrac{\sqrt{\,10+2\sqrt{\,5\,}\,}\,}{4},\ \pm\dfrac{ \sqrt{\,10-2\sqrt{\,5\,}\,}\,}{4}\,}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(い)}\\[7mm] (\makebox[1zw][c]{2})\ \ n=1,\ 2,\ \cdots\ に対して \\[-.5mm] \hspace*{6zw} f_n(\cos\theta)=\cos n\theta \\ \quad が成り立つことをnについての数学的帰納法で示す。\\ \quad(\makebox[2mm][c]{i})\ \ 2倍角の公式と\raisebox{.5pt}{(1)}の計算により \\ \hspace*{6zw} f_1^{}(\cos\theta)=\cos\theta \\ \hspace*{6zw} f_2^{}(\cos\theta)=2\cos^2 \theta-1=\cos 2\theta \\ \qquad となって，\ \ n=1,\ 2のとき成り立つ。\\ \quad(\makebox[2mm][c]{ii})\ \ f_{k-1}^{}(\cos\theta)=\cos(k-1)\theta,\ \ f_k^{}(\cos\theta)=\cos k\theta\ が成り立つとすると，加法定理より \\ \hspace*{6zw} \cos(k+1)\theta+\cos(k-1)\theta=2\cos\theta\cos k\theta \\ \qquad であるから，\\ \hspace*{6zw} \cos(k+1)\theta=2(\cos\theta)\ten f_k^{}(\cos\theta) -f_{k-1}^{}(\cos\theta)=f_{k+1}^{}(\cos\theta) \\[.5mm] \qquad が成り立つ。\\[.5mm] \quad\raisebox{.5pt}{(\makebox[2mm][c]{i}),\ (\makebox[2mm][c]{ii})}より， すべての自然数nに対して \\ \hspace*{6zw} f_n(\cos\theta)=\cos n\theta \\ \quad が成り立つことが示された。\hfill \paalen{おわり} \\[8mm] (\makebox[1zw][c]{3})\ \ 5\ten\displaystyle\frac{\pi}{\,10\,} =\frac{\,\pi\,}{2}\,を考えて，\ \ \raisebox{.5pt}{(2)}より \\[1.5mm] \hspace*{6zw} f_5^{}\Bigl(\cos\frac{\pi}{\,10\,}\Bigr) =\cos\frac{\,\pi\,}{2}=0 \\[2mm] \quad\, 0<\frac{\pi}{\,10\,}<\frac{\pi}{\,6\,}\,より \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \cos\frac{\pi}{\,6\,}=\frac{\sqrt{\,3\,}\,}{2} =\frac{\sqrt{\,12\,}\,}{4}<\cos\frac{\pi}{\,10\,}<\cos 0=1 \\[1.5mm] \quad であるから，\ \ \raisebox{.5pt}{(1)}より \\[1mm] \hspace*{6zw} \cos\frac{\pi}{\,10\,}=\ansbox{\dfrac{\sqrt{\,10+2\sqrt{\,5\,} \,}\,}{4}}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(う)} \\[3mm] \ \ \paalen{注}\ \ 大小比較をもう少し丁寧に行なうと，\ \ 2^2<5<3^2\,より\ 2<\sqrt{\,5\,}<3\ であり，\\ \hspace*{7zw} 12<10+2\times 2<10+2\sqrt{\,5\,}<10+2\times 3 \\ \hspace*{7zw} 10+2\times(-3)<10-2\sqrt{\,5\,}<10+2\times(-2)<12 \\[.5mm] \hspace*{6zw} \therefore\ \, \mbox{$2<\sqrt{\,10-2\sqrt{\,5\,}\,} <2\sqrt{\,3\,}<\sqrt{\,10+2\sqrt{\,5\,}\,}<4$} \\[1.5mm]\hspace*{6zw} \therefore\ \, \frac{1}{\,2\,}<\frac{\sqrt{\,10-2\sqrt{\,5\,}\,}\,}{4} <\frac{\sqrt{\,3\,}\,}{2}<\frac{\sqrt{\,10+2\sqrt{\,5\,}\,}\,}{4}<1 \\[8mm] (\makebox[1zw][c]{4})\ \ \kakomi{極大}の本来の定義は\kakomi{局所的に最大}である から，\ \ xの関数としてのf_n(x)の極大\\ \quad 値は，\ \ \theta\,の関数としての f_n(\cos\theta)=\cos n\theta\,の極大値と同じものである。\\ \qquad\, 0<\theta<\pi\,において \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{d}{\,d\theta\,}\cos n\theta=-n\sin n\theta \\[1.5mm] \quad が\,+\to-\,となる\,\theta\,を求めると \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \theta=\frac{\,2k\,}{n}\pi \ \ \Bigl(k=1,\ 2,\ \cdots,\ \frac{\,n-1\,}{2}\Bigr) \\[2mm] \quad であるから，\\[.5mm] \hspace*{6zw} 極大値は\ f_n\Bigl(\cos\frac{\,2k\,}{n}\pi\Bigr) =\cos 2k\pi=\underset{(え)}{\ansbox{\ 1\ }} \\ \quad であり，極大値をとるxの値は \\[1mm] \hspace*{6zw} x=\underset{(お)}{\ansbox{\cos\dfrac{\,2k\,}{n}\pi \ \ \Bigl(k=1,\ 2,\ \cdots,\ \dfrac{\,n-1\,}{2}\Bigr)}} \\ \quad である。$ \end{document}