一橋大学 前期 2009年度 問5

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 一橋大学
学科・方式 前期
年度 2009年度
問No 問5
学部 商 ・ 経済 ・ 法 ・ 社会
カテゴリ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\mdot\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\Kakko#1{(\makebox[1.1zw][c]{#1})}%2文字分カッコ \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %大問番号 \def\NUMB#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=2pt \framebox[1.7zw][c]{\large\gt #1}}} %大問番号のリスト環境 \def\BM#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{2zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{2zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EM{\end{list}} %小問番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \BM{\NUMB{5}} $X,\,Y,\,Z$と書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある.この中から1枚のカードが選ばれ たとき,$xy$平面上の点Pを次の規則にしたがって移動する.\\ \quad ・$X$のカードが選ばれたとき,Pを$x$軸の正の方向に1だけ移動する.\\ \quad ・\,$Y$のカードが選ばれたとき,Pを$y$軸の正の方向に1だけ移動する.\\ \quad ・\,$Z$のカードが選ばれたとき,Pは移動せずそのままの位置にとどまる. \BK{\kakkoichi} $n$を正の整数とする.最初,点Pを原点の位置におく.$X$のカードと$Y$のカードの2枚から無作為に1枚を選び,Pを,上の規則にしたがって移動するという試行を$n$回繰り返す.\\ \tokeiichi\quad $n$回の試行の後にPが到達可能な点の個数を求めよ.\\ \tokeini\quad Pが到達する確率が最大の点をすべて求めよ. \EK \BK{\kakkoni} $n$を正の3の倍数とする.最初,点Pを原点の位置におく.$X$のカード,$Y$のカード,$Z$のカードの3枚のカードから無作為に1枚選び,Pを,上の規則にしたがって移動するという試行を$n$回繰り返す.\\ \tokeiichi\quad $n$回の試行の後にPが到達可能な点の個数を求めよ.\\ \tokeini\quad Pが到達する確率が最大の点をすべて求めよ. \EK \EM \end{jituwaku} \h\kai\quad\kakkoichib\quad\tokeiichib\quad $X$のカードが$k$枚$(k=0,\,1,\,\cdots,\,n)$取り出されるとき,$Y$のカードは$n-k$枚取り出されるので,点Pは点$(k,\,n-k)$に到達する.この点は$k$が異なれば違う点となるので,$k=0,\,1,\,\cdots,\,n$より点Pが到達可能な点の個数は$\bd{n+1}$個. \h\tokeinib\quad 点Pが点$(k,\,n-k)\;(k=0,\,1,\,\cdots,\,n)$に到達する確率を$p_k$とすると \[p_k=\comb{n}{k}\SK{\frac{1}{2}}\shisu{k}\SK{\frac{1}{2}}\shisu{n-k}=\comb{n}{k}\SK{\frac{1}{2}}\shisu{n}\] よって$0 \leq k \leq n-1$のとき \[\frac{p_{k+1}}{p_k}=\frac{\comb{n}{k+1}}{\comb{n}{k}}=\frac{n!}{(k+1)!\CK{n-(k+1)}!}\cdot\frac{k!(n-k)!}{n!}=\frac{n-k}{k+1}\] したがって\quad $\displaystyle \frac{p_{k+1}}{p_k}\geq 1 \doti n-k\geq k+1 \doti k\leq \frac{n-1}{2}$\\ ゆえに \[nが奇数のとき\quad p_1<p_2<\cdots<p_{\frac{n-1}{2}}=p_{\frac{n+1}{2}},\,p_{\frac{n+1}{2}}>p_{\frac{n+3}{2}}>\cdots\] \[nが偶数のとき\quad p_1<p_2<\cdots<p_{\frac{n-2}{2}},\,p_{\frac{n-2}{2}}>p_{\frac{n}{2}}>\cdots\] 以上より求める点Pの座標は \[ \begin{cases} \bd{n}\textgt{が奇数のとき}\quad \bd{\SK{\frac{n-1}{2},\,\frac{n+1}{2}},\,\SK{\frac{n+1}{2},\,\frac{n-1}{2}}}\\[8pt] \bd{n}\textgt{が偶数のとき}\quad \bd{\SK{\frac{n}{2},\,\frac{n}{2}}} \end{cases} \] \h\kakkonib\quad\tokeiichib\quad $Z$のカードを$k$枚$(k=0,\,1,\,\cdots,\,n)$取り出すとき,$X,\,Y$のカードを合わせて$n-k$枚取り出すから,\kakkoichi\tokeiichi より点Pが到達可能な点の個数は$(n-k)+1$個ある.$k=0,\,1,\,\cdots,\,n$と変化させたとき点Pの到達する点はそれぞれ異なるから,求める点の個数は \[\sum_{k=0}^n(n-k+1)=(n+1)+n+(n-1)+\cdots+1=\sum_{k=1}^{n+1}k=\bd{\frac{1}{2}(n+1)(n+2)}\;個\] \h\tokeinib\quad $Z$のカードを$k$枚$(k=0,\,1,\,\cdots,\,n)$取り出すとき,$X,\,Y$のカードを合わせて$n-k$枚取り出すから,\kakkoichi\tokeini より点Pが到達する確率が最大の点は \[ \begin{cases} n-kが奇数のとき\quad \SK{\frac{n-k-1}{2},\,\frac{n-k+1}{2}},\,\SK{\frac{n-k+1}{2},\,\frac{n-k-1}{2}}\\[8pt] n-kが偶数のとき\quad \SK{\frac{n-k}{2},\,\frac{n-k}{2}} \end{cases} \hspace{-1zw}\Cdots\maruichi \] であり,この点に到達する確率を$q_k$とする. $n-k$が奇数のとき,$X,\,Y$がそれぞれ$\dfrac{n-k-1}{2}枚,\dfrac{n-k+1}{2}枚$取り出されるときに\mruichi の点に到達するので \[q_k=\comb{n}{k}\cdot\comb{n-k}{\frac{n-k-1}{2}}\SK{\frac{1}{3}}\shisu{k}\SK{\frac{1}{3}}\shisu{\frac{n-k-1}{2}}\SK{\frac{1}{3}}\shisu{\frac{n-k+1}{2}}=\comb{n}{k}\cdot\comb{n-k}{\frac{n-k-1}{2}}\SK{\frac{1}{3}}\shisu{n}\] $n-k$が偶数のとき,$X,\,Y$がそれぞれ$\dfrac{n-k}{2}$枚ずつ取り出されるときに\mruichi の点に到達するので \[q_k=\comb{n}{k}\cdot\comb{n-k}{\frac{n-k}{2}}\SK{\frac{1}{3}}\shisu{k}\SK{\frac{1}{3}}\shisu{\frac{n-k}{2}}\SK{\frac{1}{3}}\shisu{\frac{n-k}{2}}=\comb{n}{k}\cdot\comb{n-k}{\frac{n-k}{2}}\SK{\frac{1}{3}}\shisu{n}\] よって\kakkoichi\tokeini と同様に考えると \h\Kakko{ア}\quad $n-k$が奇数のとき($n-(k+1)$が偶数のとき) \[\frac{q_{k+1}}{q_k}=\frac{\comb{n}{k+1}\cdot\comb{n-(k+1)}{\frac{n-(k+1)}{2}}}{\comb{n}{k}\cdot\comb{n-k}{\frac{n-k-1}{2}}}=\frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{\dfrac{n-k-1}{2}}{n-k}=\frac{n-k+1}{2(k+1)}\] \[\yueni\quad \frac{q_{k+1}}{q_k}\geq 1 \doti n-k+1 \geq 2(k+1) \doti k \leq \frac{n-1}{3}\] $n$は3の倍数であるから \[k \leq \frac{n-3}{3}のとき\quad q_{k+1}>q_k \quad,\,\quad k \geq \frac{n}{3}のとき\quad q_{k+1}<q_k\] \h\Kakko{イ}\quad $n-k$が偶数のとき($n-(k+1)$が奇数のとき) \[\frac{q_{k+1}}{q_k}=\frac{\comb{n}{k+1}\cdot\comb{n-(k+1)}{\frac{n-(k+1)-1}{2}}}{\comb{n}{k}\cdot\comb{n-k}{\frac{n-k}{2}}}=\frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{\dfrac{n-k}{2}}{n-k}=\frac{n-k}{2(k+1)}\] \[\yueni\quad \frac{q_{k+1}}{q_k}\geq 1 \doti n-k \geq 2(k+1) \doti k \leq \frac{n-2}{3}\] $n$は3の倍数であるから \[k \leq \frac{n-3}{3}のとき\quad q_{k+1}>q_k \quad,\,\quad k \geq \frac{n}{3}のとき\quad q_{k+1}<q_k\] 以上の考察より$q_k$は$k=\dfrac{n}{3}$で最大となり,このとき$n-k=\dfrac{2n}{3}$は偶数となるから,\mruichi で$n-k$が偶数の場合を考えると求める座標は\quad \bd{\SK{\dfrac{n}{3},\,\dfrac{n}{3}}} \end{document}