静岡大学 前期 2009年度 問7

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解答作成者: 鶴見 健了

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入試情報

大学名 静岡大学
学科・方式 前期
年度 2009年度
問No 問7
学部 人文学部 ・ 教育学部 ・ 情報学部 ・ 理学部 ・ 工学部 ・ 農学部
カテゴリ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[10pt]{jarticle} \usepackage{tabularx,emath,emathP,custom_suseum} \topmargin = -25mm \oddsidemargin = -10mm \marginparsep = -20mm \begin{document} \pagestyle{empty} \begin{FRAME} 2人でさいころを1つずつ投げ、出た目の大きい方が勝ち,同じなら引き分けというゲームを行う.それぞれのゲームにおいて得点は,勝った方が3点,負けた方が0点,引き分けの場合は双方1点とする.このゲームをA,B,Cの3人が総当たりで行い,総得点を競うものとるす.このとき,次に問いに答えよ. \begin{enumerate}[(1)] \item AとBがゲームを行ったとき,Aが勝つ確率と引き分けになる確率をそれぞれ求めよ. \item Aの総得点の期待値を求めよ. \item Aの総得点がB,Cの総得点より多くなる確率を求めよ. \begin{flushright} (配点25\%) \end{flushright} \end{enumerate} \end{FRAME} \begin{enumerate}[(1)] \item 「引き分けになる」ことは,「2人が同じ目を出す」ことである.「同じ目の出し方」は,1から6までの6通りある.よって,求める確率は $$\biggl(\bunsuu{1}{6}\times\bunsuu{1}{6}\biggr)\times6=\bunsuu{1}{6} \qquad \cdots (答)$$ また,AのサイコロとBのサイコロの目の出方に偏りはないので,「Aが勝つ確率」と「Bが勝つ確率」は等しい.「AとBがゲームを行う」ときには「Aが勝つ(Bが負ける)」「Bが勝つ(Aが負ける)」「引き分けになる」のいずれかであるので,「Aが勝つ」確率は「$(1-\text{引き分けになる確率})\times\bunsuu{1}{2}$」で求まる.つまり, $$\biggl(1-\bunsuu{1}{6}\biggr)\times\bunsuu{1}{2}=\bunsuu{5}{12} \qquad \cdots (答)$$ \item 「AがBに勝つ」確率と「AがCに勝つ」確率は等しい.「Bと引き分ける確率」と「Cと引き分ける確率」も等しい.よって,Aの総得点とその確率は次の通りである.\\ \begin{table}[hb] \begin{center} \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|} \hline 得点 &0 &1 &2 &3 &4 &6 \\ \hline パターン &負け・負け & 負け・分け & 分け・分け & 勝ち・負け & 勝ち・分け &勝ち・勝ち \\ \hline \EMvphantom[4pt][3pt]{$\bunsuu{1}{2}$}確率 & $\bunsuu{5}{12}\times\bunsuu{5}{12}$ &$\bunsuu{5}{12}\times\bunsuu{1}{6}$ &$\bunsuu{1}{6}\times\bunsuu{1}{6}$ &$\bunsuu{5}{12}\times\bunsuu{5}{12}$ & $\bunsuu{5}{12}\times\bunsuu{1}{6}$ & $\bunsuu{5}{12}\times\bunsuu{5}{12}$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{table} 「勝ち・勝ち」「分け・分け」「負け・負け」以外は,どちらに勝ったか(負けたか,引き分けたか)を考えて2通りずつある.以上より求める期待値は $$1\cdot2\cdot\biggl(\bunsuu{5}{12}\biggr)\cdot\biggl(\bunsuu{1}{6}\biggr)+2\cdot\biggl(\bunsuu{1}{6}\biggr)^2+3\cdot2\cdot\biggl(\bunsuu{5}{12}\biggr)^2+4\cdot2\cdot\biggl(\bunsuu{5}{12}\biggr)\cdot\biggl(\bunsuu{1}{6}\biggr)+6\cdot\biggl(\bunsuu{5}{12}\biggr)^2=\bunsuu{17}{6} \qquad \cdots(答)$$ \item 「AがB,Cよりも総得点が多い」ためには,「(i)Aが2勝する」か,「(ii)1勝1分けし,かつ1分けした相手は他の試合で負けるか引き分ける」必要がある.(i)と(ii)は排反なので,それぞれの確率を求めて和を取ればよい. \begin{enumerate}[(i)] \item Aが2勝するとき,求める確率は,(2)で考えたとおり$\biggl(\bunsuu{5}{12}\biggr)\times\biggl(\bunsuu{5}{12}\biggr)$ \item 1勝1分けで,かつ1分けした相手は他の試合で負けるか引き分けているとき,(1),(2)より \begin{enumerate}[(a)] \item AはBと引き分けてCに勝ち,BはCに負けるか引き分ける:$\biggl(\bunsuu{1}{6}\biggr)\times\biggl(\bunsuu{5}{12}\biggr)\times\biggl(1-\bunsuu{5}{12}\biggr)$ \item AはCと引き分けてBに勝ち,CはBに負けるか引き分ける:$\biggl(\bunsuu{1}{6}\biggr)\times\biggl(\bunsuu{5}{12}\biggr)\times\biggl(1-\bunsuu{5}{12}\biggr)$ \end{enumerate} \end{enumerate} 以上より,求める確率は $$\biggl(\bunsuu{5}{12}\biggr)^2+\biggl(\bunsuu{1}{6}\biggr)\times\biggl(\bunsuu{5}{12}\biggr)\times\biggl(1-\bunsuu{5}{12}\biggr)\times2=\bunsuu{55}{216} \qquad \cdots (答)$$ \end{enumerate} \end{document}