静岡大学 前期 2009年度 問6

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解答作成者: 鶴見 健了

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入試情報

大学名 静岡大学
学科・方式 前期
年度 2009年度
問No 問6
学部 人文学部 ・ 教育学部 ・ 情報学部 ・ 理学部 ・ 工学部 ・ 農学部
カテゴリ 微分法の応用 ・ 積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[10pt]{jarticle} \usepackage{tabularx,emath,emathP,custom_suseum} \topmargin = -25mm \oddsidemargin = -10mm \marginparsep = -20mm \begin{document} \pagestyle{empty} \begin{FRAME} 放物線$y=x^2-x$を$C$とする.$C$上の2点$\text{A}(\alpha,\, \alpha^2-\alpha),\, \text{B}(\beta,\, \beta^2-\beta)$における接線をそれぞれ$l,\, l'$とし,その交点をPとする.このとき,次の問いに答えよ.ただし,$\alpha<\beta$とする. \begin{enumerate}[(1)] \item 放物線$C$および2つの接線$l,\, l'$で囲まれた図形の面積$S$を$\alpha,\, \beta$で表せ. \item $k$を正の定数とする.点Pが放物線$y=x^2-x-k$上にあるとき,面積$S$を$k$で表せ. \begin{flushright} (配点25\%) \end{flushright} \end{enumerate} \end{FRAME} $C:\, y=x^2-x$より,$y'=2x-1$である.よって$x=\alpha$における微分係数は$2\alpha-1$,$x=\beta$における微分係数は$2\beta-1$である. \begin{enumerate}[(1)] \item $l$の式は$y=(2\alpha-1)x-\alpha^2$であり,$l'$の式は$y=(2\beta-1)x-\beta^2$である.点Pはこれらの交点であり,連立して求めると,点Pの$x$座標は$\bunsuu{\alpha+\beta}{2}$と求まる.よって, \begin{eqnarray*} S&=&\int^{\frac{\alpha+\beta}{2}}_{\alpha}\{x^2-2\alpha{x}+\alpha^2\}dx+\int_{\frac{\alpha+\beta}{2}}^{\beta}\{x^2-2\beta{x}+\beta^2\}dx\\ &=&\biggl[\bunsuu{1}{3}(x-\alpha)^3\biggr]^{\frac{\alpha+\beta}{2}}_{\alpha}+\biggl[\bunsuu{1}{3}(x-\beta)^3\biggr]_{\frac{\alpha+\beta}{2}}^{\beta}\\ &=&\bunsuu{1}{3}\biggl(\bunsuu{\beta-\alpha}{2}\biggr)^3-\bunsuu{1}{3}\biggl(\bunsuu{\alpha-\beta}{2}\biggr)^3\\ &=&\bunsuu{1}{12}(\beta-\alpha)^3 \qquad \cdots (答) \end{eqnarray*} \begin{center} \begin{zahyou}[ul=8mm](-2,3)(-3,4) \thicklines \Gurafu{1,-1,0}{-1.5}{2.5} \Gurafu{0.6,-0.64}{-1}{2} \Gurafu{-3,-1}{-1}{0.5} \Hasen{(-1,2)(-1,0)} \Kuromaru{(-1,2)} \Kuromaru{(0.8,-0.16)} \Kuromaru{(-0.1,-0.7)} \Put{(0.7,-0.6)}{$\beta$} \Put{(-1.2,-0.3)}{$\alpha$} \Put{(-0.45,-1.25)}{P} \Nurii*[45]{1,-1,0}{-3,-1}{-1}{-0.1} \Nurii*[45]{1,-1,0}{0.6,-0.64}{-0.1}{0.8} \end{zahyou} \end{center} \item 点Pの$y$座標は, \begin{eqnarray*} y&=&(2\alpha-1)\cdot\bunsuu{\alpha+\beta}{2}-\alpha^2\\ &=&\alpha^2+\alpha\beta-\bunsuu{\alpha+\beta}{2}-\alpha^2\\ &=&\alpha\beta-\bunsuu{1}{2}(\alpha+\beta) \end{eqnarray*} である.点Pが$y=x^2-x-k$上にあることから, \begin{eqnarray*} k&=&\biggl(\bunsuu{\alpha+\beta}{2}\biggr)^2-\biggl(\bunsuu{\alpha+\beta}{2}\biggr)-\alpha\beta+\bunsuu{1}{2}(\alpha+\beta)\\ &=&\biggl(\bunsuu{\alpha+\beta}{2}\biggr)^2-\alpha\beta\\ &=&\bunsuu{1}{4}(\beta-\alpha)^2 \end{eqnarray*} がいえる.いま,$k>0,\, \beta>\alpha$だから,$\beta-\alpha=2\sqrt{k}$がいえる.よって(1)より, $$S=\bunsuu{2}{3}k\sqrt{k} \qquad \cdots (答)$$ \end{enumerate} \end{document}