静岡大学 前期 2009年度 問5

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解答作成者: 鶴見 健了

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入試情報

大学名 静岡大学
学科・方式 前期
年度 2009年度
問No 問5
学部 人文学部 ・ 教育学部 ・ 情報学部 ・ 理学部 ・ 工学部 ・ 農学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[10pt]{jarticle} \usepackage{tabularx,emath,emathP,custom_suseum} \topmargin = -25mm \oddsidemargin = -10mm \marginparsep = -20mm \begin{document} \pagestyle{empty} \begin{FRAME} 四面体ABCDにおいて,\sankaku{BCD}の重心をGとする.このとき,次の問いに答えよ. \begin{enumerate}[(1)] \item ベクトル$\bekutoru{AG}$をベクトル$\bekutoru{AB},\, \bekutoru{AC},\, \bekutoru{AD}$で表せ. \item 線分AGを$3:1$に内分する点をE,\sankaku{ACD}の重心をFとする.このとき,3点B,E,Fは一直線上にあり,EはBFを$3:1$に内分する点であることを示せ. \item $\text{BA}=\text{BD},\, \text{CA}=\text{CD}$であるとき,2つのベクトル$\bekutoru{BF}$と$\bekutoru{AD}$は垂直であることを示せ. \begin{flushright} (配点25\%) \end{flushright} \end{enumerate} \end{FRAME} \begin{enumerate}[(1)] \item Gは\sankaku{BCD}の重心だから, $$\bekutoru{AG}=\bunsuu{1}{3}\bigl(\bekutoru{AB}+\bekutoru{AC}+\bekutoru{AD}\bigr)\quad \cdots (答)$$ \item 点Eは線分AGを$3:1$に内分する点だから, $$\bekutoru{AE}=\bunsuu{1}{4}\bekutoru{AG} \qquad \cdots \maru{1}$$ であり,点Fは\sankaku{ACD}の重心だから, $$\bekutoru{AF}=\bunsuu{1}{3}\bigl(\bekutoru{AC}+\bekutoru{AD}\bigr) \qquad \cdots \maru{2}$$ と表される.よって,$\bekutoru{BE},\, \bekutoru{BF}$は \begin{eqnarray*} \bekutoru{BE}&=&\bekutoru{AE}-\bekutoru{AB}\\ &=&\bunsuu{3}{4}\bekutoru{AG}-\bekutoru{AB}\\ &=&\bunsuu{1}{4}\bigl(\bekutoru{AB}+\bekutoru{AC}+\bekutoru{AD}\bigr)-\bekutoru{AB}\\ &=&\bunsuu{1}{4}\bigl(-3\bekutoru{AB}+\bekutoru{AC}+\bekutoru{AD}\bigr)\\ \\ \bekutoru{BF}&=&\bekutoru{AF}-\bekutoru{AB}\\ &=&\bunsuu{1}{3}\bigl(\bekutoru{AC}+\bekutoru{AD}\bigr)-\bekutoru{AB}\\ &=&\bunsuu{1}{3}\bigl(-3\bekutoru{AB}+\bekutoru{AC}+\bekutoru{AD}\bigr)\\ \end{eqnarray*} となる.このことから$\bekutoru{BF}=\bunsuu{4}{3}\bekutoru{BE}$がいえるので,B,E,Fは一直線上にあり,$\text{BE}:\text{EF}=3:1$であることがわかる.(証明終) \item $\text{BA}=\text{BD},\, \text{CA}=\text{CD}$だから,三辺相当より,$\sankaku{ABC}\equiv \sankaku{DBC}$である.よって$\kaku{DBC}=\kaku{ABC}$がいえるので,$\kaku{DBC}=\kaku{ABC}=\theta,\,\text{BA}=\text{BD}=\ell$とおき,$\bekutoru{BF}$と$\bekutoru{AD}$の内積を考える.\\ \begin{center} \begin{Zahyou*}[ul=20mm](0,1)(0,1)(0,1) \thicklines \def\D{(0,0,0)} \def\B{(1,0,0)} \def\C{(0,1,0)} \def\A{(0,0,1)} \iiiPut\A[w]{D} \iiiPut\B[sw]{B} \iiiPut\D[ne]{C} \iiiPut\C[e]{A} \Kakusui{BC}{D}{A} \iiiKakukigou\D\B\A{} \iiiKakukigou\A\C\D{} \end{Zahyou*} \end{center} \begin{eqnarray*} \bekutoru{BF}\cdot\bekutoru{AD}&=&\bunsuu{1}{3}\bigl(\bekutoru{BA}+\bekutoru{BC}+\bekutoru{BD}\bigr)\bigl(\bekutoru{BD}-\bekutoru{BA}\bigr)\\ &=&\bunsuu{1}{3}\bigl(\bekutoru{BA}\cdot\bekutoru{BD}-|\bekutoru{BA}|^2+|\bekutoru{BD}|^2-\bekutoru{BD}\cdot\bekutoru{BA}+\bekutoru{BC}\cdot\bekutoru{BD}-\bekutoru{BC}\cdot\bekutoru{BA}\bigr)\\ &=&\bunsuu{1}{3}\bigl(-\ell^2+\ell^2+\ell\cdot\text{BC}\cos\theta-\ell\cdot\text{BC}\cos\theta\bigr)\\ &=&0 \end{eqnarray*} となり,$\bekutoru{BF}\cdot\bekutoru{AD}=0$がいえる.内積が0だから,2つのベクトル$\bekutoru{BF}$と$\bekutoru{AD}$は垂直であるといえる.(証明終) \end{enumerate} \end{document}