静岡大学 前期 2009年度 問4

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解答作成者: 鶴見 健了

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入試情報

大学名 静岡大学
学科・方式 前期
年度 2009年度
問No 問4
学部 人文学部 ・ 教育学部 ・ 情報学部 ・ 理学部 ・ 工学部 ・ 農学部
カテゴリ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[10pt]{jarticle} \usepackage{tabularx,emath,emathP,custom_suseum} \topmargin = -25mm \oddsidemargin = -10mm \marginparsep = -20mm \begin{document} \pagestyle{empty} \begin{FRAME} 行列$A=\left( \begin{array}{cc} -1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \\ \end{array} \right)$について,次の問いに答えよ. \begin{enumerate}[(1)] \item $A+A^2+A^3$を求めよ. \item 自然数$n$に対して,$A+A^2+A^3+\cdots+A^{3n-1}+A^{3n}$を求めよ. \begin{flushright} (配点25\%) \end{flushright} \end{enumerate} \end{FRAME} ケーリー・ハミルトンの定理より,与えられた行列$A$に対して,次の式が成り立つ.ただし,$E$を単位行列とする. $$A^2-(-1-1)A+\bigl\{(-1)\cdot(-1)-(-\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}\bigr\}E=O$$ つまり $$A^2+2A+4E=O \qquad \cdots\cdots \maru{1}$$ である. \begin{enumerate}[(1)] \item \maru{1}より$A^2=-2A-4E$であり,両辺に$A$をかけた$A^3=-2A^2-4A$も成り立つ.ここで, \begin{eqnarray*} A^3&=&-2A^2-4A\\ &=&-2(-2A-4E)-4A\\ &=&4A+8E-4A=8E \end{eqnarray*} となる.以上より, \begin{eqnarray*} A+A^2+A^3&=&A+(-2A-4E)+8E\\ &=&-A+4E\\ &=&-\left( \begin{array}{cc} -1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \\ \end{array} \right)+4\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\\ &=&\left( \begin{array}{cc} 5 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 5 \\ \end{array} \right)\qquad\cdots(答) \end{eqnarray*} \item (1)より$A^3=8E$だから,$A^{3n}=8^nE$がいえる.よって, \begin{eqnarray*} A+A^2+A^3+\cdots+A^{3n-1}+A^{3n} &=& (A+A^2+A^3)+(A^4+A^5+A^6)+\cdots+(A^{3n-2}+A^{3n-1}+A^{3n})\\ &=&(A+A^2+A^3)+A^3(A+A^2+A^3)+ \cdots +A^{3n-3}(A+A^2+A^3)\\ &=&(A+A^2+A^3)+8\cdot(A+A^2+A^3)+ \cdots +8^{3(n-1)}(A+A^2+A^3)\\ &=&\bunsuu{8^n-1}{8-1}(A+A^2+A^3)\\ &=&\bunsuu{8^n-1}{7}\left( \begin{array}{cc} 5 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 5 \\ \end{array} \right) \qquad (答)\\ \end{eqnarray*} \end{enumerate} \end{document}