すうじあむ

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \usepackage{bm} \usepackage{custom_suseum} \begin{document} \begin{flushleft} \begin{FRAME} 　数列 $\{a_n \}$ が \setlength{\mathindent}{4zw} \[ \frac{1}{2-a_{n+1}}-1=2\Big(\frac{1}{2-a_n}-1\Big)\hspace*{1zw}(n=1,2,3,\cdots \cdots) \] をみたすとする。このとき次の (1)，(2) に答えよ。\\ (1) $a_1=1$ のとき，$a_{10}$ を求めよ。\\ (2) $a_1=\displaystyle \frac{3}{2}$ のとき，$a_{10}$ を求めよ。 \end{FRAME} \vspace*{1zw} $\displaystyle \frac{1}{2-a_n}=b_n$ とおくと，$b_1=\displaystyle \frac{1}{2-a_1}$，$\displaystyle \frac{1}{2-a_{n+1}}=b_{n+1}$ なので，\\ \vspace*{0.5zw} 漸化式は，$b_{n+1}-1=2(b_n-1)$ と表せる\\ よって，数列 $\{b_n-1 \}$ は，初項 $b_1-1$，公比 $2$ の等比数列\\ 従って，$\{b_n \}$ の一般項は， \setlength{\mathindent}{1zw} \begin{equation*} \begin{split} b_n-1&=(b_1-1)\cdot 2^{n-1}\\ b_n&=1+(b_1-1)\cdot 2^{n-1} \end{split} \end{equation*} (1) $a_1=1$ のとき， \setlength{\mathindent}{1zw} \begin{equation*} \begin{split} b_1&=\frac{1}{2-1}\\ &=1\\ \end{split} \end{equation*} なので，$b_1-1=0$\\ よって，$\{b_n \}$ の一般項は， \setlength{\mathindent}{1zw} \begin{equation*} \begin{split} b_n&=1+(b_1-1)\cdot 2^{n-1}\\ &=1 \end{split} \end{equation*} これより， \setlength{\mathindent}{1zw} \begin{equation*} \begin{split} \frac{1}{2-a_n}&=1\\ 2-a_n&=1\\ \therefore\hspace*{1zw}a_n=1 \end{split} \end{equation*} 故に求める値は，$a_{10}=\boldsymbol{1}$\\ \vspace*{0.5zw} (2) $a_1=\displaystyle \frac{3}{2}$ のとき， \setlength{\mathindent}{1zw} \begin{equation*} \begin{split} b_1&=\frac{1}{2-\displaystyle \frac{3}{2}}\\ &=2\\ \end{split} \end{equation*} なので，$b_1-1=1$\\ よって，$\{b_n \}$ の一般項は， \setlength{\mathindent}{1zw} \begin{equation*} \begin{split} b_n&=1+(b_1-1)\cdot 2^{n-1}\\ &=1+2^{n-1} \end{split} \end{equation*} これより， \setlength{\mathindent}{1zw} \begin{equation*} \begin{split} \frac{1}{2-a_n}&=1+2^{n-1}\\ 2-a_n&=\frac{1}{1+2^{n-1}}\\ \therefore\hspace*{1zw}a_n&=2-\frac{1}{1+2^{n-1}}\\ \end{split} \end{equation*} 故に求める値は， \setlength{\mathindent}{1zw} \begin{equation*} \begin{split} a_{10}&=2-\frac{1}{1+2^9}\\ &=2-\frac{1}{513}\\ &=\boldsymbol{\frac{1025}{513}} \end{split} \end{equation*} \end{flushleft} \end{document}