東京女子医科大学 医学部 2006年度 問2

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 東京女子医科大学
学科・方式 医学部
年度 2006年度
問No 問2
学部 医学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \usepackage{bm} \usepackage{custom_suseum} \begin{document} \begin{flushleft} \begin{FRAME}  数列 $\{a_n \}$ が \setlength{\mathindent}{4zw} \[ \frac{1}{2-a_{n+1}}-1=2\Big(\frac{1}{2-a_n}-1\Big)\hspace*{1zw}(n=1,2,3,\cdots \cdots) \] をみたすとする。このとき次の (1),(2) に答えよ。\\ (1) $a_1=1$ のとき,$a_{10}$ を求めよ。\\ (2) $a_1=\displaystyle \frac{3}{2}$ のとき,$a_{10}$ を求めよ。 \end{FRAME} \vspace*{1zw} $\displaystyle \frac{1}{2-a_n}=b_n$ とおくと,$b_1=\displaystyle \frac{1}{2-a_1}$,$\displaystyle \frac{1}{2-a_{n+1}}=b_{n+1}$ なので,\\ \vspace*{0.5zw} 漸化式は,$b_{n+1}-1=2(b_n-1)$ と表せる\\ よって,数列 $\{b_n-1 \}$ は,初項 $b_1-1$,公比 $2$ の等比数列\\ 従って,$\{b_n \}$ の一般項は, \setlength{\mathindent}{1zw} \begin{equation*} \begin{split} b_n-1&=(b_1-1)\cdot 2^{n-1}\\ b_n&=1+(b_1-1)\cdot 2^{n-1} \end{split} \end{equation*} (1) $a_1=1$ のとき, \setlength{\mathindent}{1zw} \begin{equation*} \begin{split} b_1&=\frac{1}{2-1}\\ &=1\\ \end{split} \end{equation*} なので,$b_1-1=0$\\ よって,$\{b_n \}$ の一般項は, \setlength{\mathindent}{1zw} \begin{equation*} \begin{split} b_n&=1+(b_1-1)\cdot 2^{n-1}\\ &=1 \end{split} \end{equation*} これより, \setlength{\mathindent}{1zw} \begin{equation*} \begin{split} \frac{1}{2-a_n}&=1\\ 2-a_n&=1\\ \therefore\hspace*{1zw}a_n=1 \end{split} \end{equation*} 故に求める値は,$a_{10}=\boldsymbol{1}$\\ \vspace*{0.5zw} (2) $a_1=\displaystyle \frac{3}{2}$ のとき, \setlength{\mathindent}{1zw} \begin{equation*} \begin{split} b_1&=\frac{1}{2-\displaystyle \frac{3}{2}}\\ &=2\\ \end{split} \end{equation*} なので,$b_1-1=1$\\ よって,$\{b_n \}$ の一般項は, \setlength{\mathindent}{1zw} \begin{equation*} \begin{split} b_n&=1+(b_1-1)\cdot 2^{n-1}\\ &=1+2^{n-1} \end{split} \end{equation*} これより, \setlength{\mathindent}{1zw} \begin{equation*} \begin{split} \frac{1}{2-a_n}&=1+2^{n-1}\\ 2-a_n&=\frac{1}{1+2^{n-1}}\\ \therefore\hspace*{1zw}a_n&=2-\frac{1}{1+2^{n-1}}\\ \end{split} \end{equation*} 故に求める値は, \setlength{\mathindent}{1zw} \begin{equation*} \begin{split} a_{10}&=2-\frac{1}{1+2^9}\\ &=2-\frac{1}{513}\\ &=\boldsymbol{\frac{1025}{513}} \end{split} \end{equation*} \end{flushleft} \end{document}