富山大学 前期 2000年度 問3

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解答作成者: 石谷 京介

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入試情報

大学名 富山大学
学科・方式 前期
年度 2000年度
問No 問3
学部 人文学部 ・ 人間発達科学部 ・ 経済学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 芸術文化学部
カテゴリ 微分法 ・ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt]{jarticle} \usepackage{ceo,custom_suseum} \setlength{\hoffset}{-45pt} \setlength{\voffset}{-100pt} \setlength{\oddsidemargin}{0pt} \setlength{\marginparwidth}{0pt} \setlength{\textwidth}{540pt} \begin{document} \begin{FRAME} 関数$f\left( x \right) =ae^{ax}+be^{-bx}$が$f\left( 0 \right) =1,f'\left( 0 \right) +f''\left( 0 \right) =0$を満たすとき,次の問に答えよ。ただし,$a,b$は実数で,$a \neq 0$とする。\\ (1) $a,b$の値を求めよ。\\ (2) 関数$f\left( x \right)$の極値を求めよ。 \end{FRAME} \Shomon $f\left( 0 \right) =1$より,$a+b=1$\\ また$f'\left( x \right) =a^{2}e^{ax}-b^{2}e^{-bx},f''\left( x \right) =a^{3}e^{ax}+b^{3}e^{-bx}$であるから,\\ $f'\left( 0 \right) +f''\left( 0 \right) =0 \douti a^{2}-b^{2}+a^{3}+b^{3}=0$である。\\ この式を変形して,\\ $\left( a-b \right) \left( a+b \right) +\left( a+b \right) \left( a^{2}-ab+b^{2} \right) =0 \douti \left( a+b \right) \left\{ \left( a+b \right)^{2}-3ab+\left( a+b \right) -2b \right\} =0$\\ ここから$a+b=1$を用いて,\\ (左辺)$=1-3ab+1-2b=-3ab+2\left( 1-b \right) =-3a\left( 1-a \right) +2a=3a^{2}-a=a\left( 3a-1 \right) $\\ $a \neq 0$であるから,$a=\displaystyle \frac{1}{3} \naraba b=\displaystyle \frac{2}{3}$\\ {\boldmath$\left( a,b \right) =\left( \displaystyle \frac{1}{3},\displaystyle \frac{2}{3} \right)$}\\ \Shomon (1)の結果から,$f\left( x \right) =\displaystyle \frac{1}{3}e^{\displaystyle \frac{x}{3}}+\displaystyle \frac{2}{3}e^{-\displaystyle \frac{2}{3}x},f'\left( x \right) =\displaystyle \frac{1}{9}e^{\displaystyle \frac{x}{3}}-\displaystyle \frac{4}{9}e^{-\displaystyle \frac{2}{3}x}$である。 \\ $f'\left( x \right) =0$とすると,$e^{\displaystyle \frac{x}{3}}=4e^{-\displaystyle \frac{2}{3}x} \douti e^{x}=4 \douti x=2\log2$\\ これを代入して,$f\left( 2\log2 \right) =\displaystyle \frac{1}{3}\left( 2 \right) ^{\displaystyle \frac{2}{3}}+\displaystyle \frac{2}{3}\left( 2 \right) ^{-\displaystyle \frac{4}{3}}=\displaystyle \frac{1}{3}\left( 2 \right) ^{\displaystyle \frac{2}{3}}+\displaystyle \frac{1}{3}\left( 2 \right) ^{-\displaystyle \frac{1}{3}}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ \\ {\boldmath $x=2\log 2$のとき,極小値$\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$} \end{document}