慶應義塾大学 薬学部 2010年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 薬学部
年度 2010年度
問No 問4
学部 薬学部(2008年以降)
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=162mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,emathP,custom_suseum} \def\Vec#1{\overrightarrow{\mathstrut\hspace*{.5pt}\mathrm{#1}\hspace*{.5pt}}} \def\v#1{\overrightarrow{\mathstrut #1}} \def\va#1{\overset{\to}{\tabtopsp{-3.3mm}#1}} \def\vb#1{\overset{\to}{\tabtopsp{-3.3mm}\vphantom{a}}\hspace*{-7pt}#1\,} \def\abs#1{\raisebox{1pt}{$\big|$}#1\raisebox{1pt}{$\big|$}} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\maru#1{\raisebox{.7pt}{\textcircled{\raisebox{-.7pt}{\small#1}}}} \def\tbox#1{\framebox[9mm][c]{#1}} \def\defbox#1{\framebox[12mm][c]{#1}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{.5zw}{\fboxrule=.8pt\fboxsep=.7mm以\hspace*{-.5pt}下\hspace* {-.5pt}の\hspace*{-.5pt}問\hspace*{-.5pt}の\ \raisebox{1pt}{\framebox[9mm][c] {\small(66)}}\,~\,\raisebox{1pt}{\framebox[9mm][c]{\small(85)}}\ に\hspace* {-.5pt}当\hspace*{-.5pt}て\hspace*{-.5pt}は\hspace*{-.5pt}ま\hspace*{-.5pt}る% \hspace*{-.5pt}適\hspace*{-.5pt}切\hspace*{-.5pt}な\hspace*{-.5pt}数\hspace* {-.5pt}値\hspace*{-.5pt}ま\hspace*{-.5pt}た\hspace*{-.5pt}は\hspace*{-.5pt}マ% \hspace*{-.5pt}イ\hspace*{-.5pt}ナ\hspace*{-.5pt}ス\hspace*{-.5pt}符\hspace* {-.5pt}号\paalen{\raisebox{.5pt}{$-$}}を\hspace*{-.5pt}マ\hspace*{-.5pt}ー% \hspace*{-.5pt}ク\hspace*{-.5pt}し\hspace*{-.5pt}な\hspace*{-.5pt}さ\hspace* {-.5pt}い. \\[4mm]% \hspace*{-.5zw}\parbox{154mm}{\quad\makebox[1zw][c]{1}辺\hspace*{.5pt}の% \hspace*{.5pt}長\hspace*{.5pt}さ\hspace*{.5pt}が1の\hspace*{.5pt}正\hspace* {.5pt}四\hspace*{.5pt}面\hspace*{.5pt}体OABCが\hspace*{.5pt}あ\hspace*{.5pt}% る.\,$\Vec{OA'}=2\Vec{OA},\ \ \Vec{OB'}=3\Vec{OB},\ \ \Vec{OC'}=4\Vec{OC}\ を \\[1mm]満たす点を\mathrm{A',\ \,B',\ \,C'\,とする.点Oから平面A'B'C'\,に垂線 \makebox[1zw][c]{$\ell$}をひく.\ \ \ell\,と平面A'B'C'}$\,との\\[1mm]交点をH,% \ \ $\ell$\,と平面ABCとの交点をPとする.\,$\Vec{OA}=\va{a},\ \,\Vec{OB}=\vb{b}, \ \,\Vec{OC}=\va{c}\ \ とするとき,\displaystyle \\[4mm] (1)\ \ \,\Vec{OH}=\frac{\ \framebox[17mm][c]{(66)\hspace*{1pt}(67)}\ } {\framebox[17mm][c]{(68)\hspace*{1pt}(69)}}\,\va{a}\,+\,\frac{\ \framebox[17mm] [c]{(70)\hspace*{1pt}(71)}\ }{\framebox[17mm][c]{(72)\hspace*{1pt}(73)}}\, \vb{b}\,-\,\frac{\framebox[9.8mm][c]{(74)}}{\ \framebox[17mm][c]{(75)\hspace* {1pt}(76)}\ }\,\va{c}\ \ \,である.\\[5mm] (2)\ \ \,\frac{\ \abs{\Vec{OP}}\ }{\abs{\Vec{OH}}}\,の値は\ \frac{\ \framebox[17mm][c]{(77)\hspace*{1pt}(78)}\ }{\framebox[17mm][c] {(79)\hspace*{1pt}(80)}}\ である.\\[5mm]% (3)\ \ \,\triangle$APBと$\triangle$ABCの面積の比は\ \,1\ \raisebox{1pt}{:}\ \,% \framebox[17mm][c]{(81)\hspace*{1pt}(82)}\ である.\\[5mm]% (4)\ \ \,四面体OAPBと四面体OA$'$B$'$C$'$\ の体積の比は\ \,1\ \raisebox{1pt}{:}% \ \,\framebox[24mm][c]{(83)\hspace*{1pt}(84)\hspace*{1pt}(85)}\ である.}} \end{FRAME} \quad \\ \parbox{136mm}{(1)\ \ Hは平面$\mathrm{A'B'C'}上の点であるから\\[1mm] \makebox[7.7zw][r]{$\Vec{\hspace*{-.3pt}OH}$}=\Vec{OA'}+s\hspace*{1pt} \Vec{A'B'}+t\hspace*{1pt}\Vec{A'C'} \\[.5mm]\hspace*{7.7zw} =2\va{a}+s(3\vb{b}-2\va{a})+t\hspace*{1pt}(4\va{c}-2\va{a}) \\[.5mm] \hspace*{7.7zw} =2\hspace*{.5pt}(1-s-t)\va{a}+3s\vb{b}+4\hspace*{.5pt}t \va{c} \hfill\cdots\cdots\ \maru{1} \hspace*{6zw}\\[.5mm] \quad と表される。\ \ \Vec{\hspace*{-.3pt}OH}\,は平面\mathrm{A'B'C'}と垂直で あるから \displaystyle \\[.5mm] \hspace*{6zw} \Vec{\hspace*{-.3pt}OH}\ten\Vec{A'B'}=0 \,\ かつ \,\ \Vec{\hspace*{-.3pt}OH}\ten\Vec{A'C'}=0 \\[1mm] \quad\, |\va{a}|=|\vb{b}|=|\va{c}|=1,\ \,\va{a}\ten\vb{b}=\vb{b}\ten\va{c} =\va{c}\ten\va{a}=1^2\ten\cos 60^\circ=\frac{1}{\,2\,}\,を用いて,\\[1.5mm] \makebox[10zw][r]{$\Vec{\hspace*{-.3pt}OH}\ten\Vec{A'B'}$}=\bigl\{2\va{a} +s(3\vb{b}-2\va{a})+t(4\va{c}-2\va{a})\bigr\}\ten(3\vb{b}-2\va{a}) \\[1mm] \hspace*{10zw} =2(3\va{a}\ten\vb{b}-2|\va{a}|^2)+s(9|\vb{b}|^2-12\va{a}\ten \vb{b}+4|\va{a}|^2) \\[.5mm]\hspace*{15zw} +t\hspace*{1pt}(12\vb{b}\ten \va{c}-8\va{a}\ten\va{c}-6\va{a}\ten\vb{b}+4|\va{a}|^2) \\[2mm] \hspace*{10zw} =2\Bigl(\frac{\,3\,}{2}-2\Bigr)+s(9-6+4) +t\hspace*{1pt}(6-4-3+4) \\[2mm]\hspace*{10zw} =7s+3t-1=0 \hfill\cdots\cdots\ \maru{2} \hspace*{6zw}$}\\[2mm]% \parbox{136mm}{$\makebox[10zw][r]{$\Vec{\hspace*{-.3pt}OH}\ten\Vec{A'C'}$} =\bigl\{2\va{a}+s(3\vb{b}-2\va{a})+t(4\va{c}-2\va{a})\bigr\}\ten (4\va{c}-2\va{a}) \\[.5mm] \hspace*{10zw} =2(4\va{c}\ten\va{a}-2|\va{a}|^2)+s(12\vb{b}\ten\va{c} -6\va{a}\ten\vb{b}-8\va{c}\ten\va{a}+4|\va{a}|^2) \\[.5mm] \hspace*{15zw} +t(16|\va{c}|^2-16\va{c}\ten\va{a}+4|\va{a}|^2) \\ \hspace*{10zw} =0+s(6-3-4+4)+t(16-8+4) \\ \hspace*{10zw} =3s+12t=0 \hfill\cdots\cdots\ \maru{3} \hspace*{6zw}$}\\[2mm]% \quad \maru{2}かつ\maru{3}を解くと,$\displaystyle \\[1mm] \hspace*{6zw} 7(-4t)+3t-1=0 \hspace*{3zw} \therefore\,\ t=-\frac{1}{\,25\,}, \ \,s=\frac{4}{\,25\,} \\[2mm] \quad \maru{1}に代入して\\[-2mm] \hspace*{6zw} \Vec{OH}=\frac{\,\overset{(66)(67)}{\tbox{44}}\,} {\underset{(68)(69)}{\tbox{25}}}\va{a}+\frac{\overset{(70)(71)}{\tbox{12}}} {\,\underset{(72)(73)}{\tbox{25}}\,}\vb{b}-\frac{\overset{(74)}{\tbox{4}}} {\,\underset{(75)(76)}{\tbox{25}}\,}\va{c} \\[4mm] (2)\ \ \mathrm{Pは\,\ell\,\paalen{直線OH}}上の点であるから\\[1.5mm] \hspace*{6zw} \Vec{OP}=k\hspace*{1pt}\Vec{\hspace*{-.3pt}OH}=\frac{\,44\,} {25}k\va{a}+\frac{12}{\,25\,}k\vb{b}-\frac{4}{\,25\,}k\va{c} \quad \paalen{kは実数} \\[2mm] \quad\mbox{と表される。Pは平面ABC}上の点でもあるから \\[-2mm] \hspace*{6zw} \frac{44}{\,25\,}k+\frac{12}{\,25\,}k-\frac{4}{\,25\,}k=1 \hspace*{3zw} \therefore\,\ k=\frac{\,\abs{\Vec{OP}}\,}{\abs{\Vec{\hspace* {-.3pt}OH}}}=\frac{\,\overset{(77)(78)}{\tbox{25}}\,}{\underset{(79)(80)} {\tbox{52}}} \\[1.5mm]\hspace*{5zw} \therefore\,\ \Vec{OP}=\frac{\,25\,}{52}\Vec{\hspace*{-.3pt}OH} =\frac{11}{\,13\,}\va{a}+\frac{3}{\,13\,}\vb{b}-\frac{1}{\,13\,}\va{c} \\[4mm] \raisebox{.5pt}{(3)\ \ (2)}より \\[1mm] \makebox[7zw][r]{$\Vec{AP}$}=\Vec{OP}-\Vec{OA} \\[1.5mm]\hspace*{7zw} =-\frac{2}{\,13\,}\va{a}+\frac{3}{\,13\,}\vb{b}-\frac{1}{\,13\,}\va{c} \\ [1.5mm]\hspace*{7zw} =\frac{3}{\,13\,}(\vb{b}-\va{a})-\frac{1}{\,13\,} (\va{c}-\va{a}) \\[1.5mm]\hspace*{7zw} =\frac{3}{\,13\,}\Vec{AB}-\frac{1}{\,13\,}\Vec{AC} \\[-2mm] \hspace*{24zw} \begin{picture}(0,0) \changeArrowHeadSize{1.8}% \path(50, 86.6)(0,0)(100,0)(45, 95.3) \put(53,85){A} \put(-9,-5){B} \put(102,-5){C} \path(50, 86.6)(30, 69.3)(0,0) \put(20,67){P} \ArrowLine{(50, 86.6)}{(45, 95.3)} \ArrowLine{(50, 86.6)}{(35, 60.6)} \allinethickness{2pt}\path(46, 93.5)(50, 86.6)(37, 64.1) \put(30,102){$-\frac{1}{\,13\,}$\footnotesize$\Vec{AC}$} \put(33,52){$\frac{3}{\,13\,}$\footnotesize$\Vec{AB}$} \allinethickness{.2pt} \dashline[25]{1.5}(45, 95.3)(30, 69.3)(35, 60.6) \end{picture} \\[-1mm] \quad \triangle\mathrm{APBと\triangle ABCは辺AB}を共有するから,\\ \quad\mbox{PおよびCから直線AB}に下ろした垂線の長さの比が面積比であり,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} \triangle\mathrm{APB:\triangle ABC}=\frac{1}{\,13\,}:1 =1:\underset{(81)(82)}{\tbox{13}} $ \\[4mm]% \parbox{136mm}{(4)\ \ 四面体の体積を$v(\ )で表すことにする。\\[1mm] \quad\, \Vec{OA'}=2\hspace*{1pt}\Vec{OA},\ \,\Vec{OB'}=3\hspace*{1pt}\Vec{OB}, \ \,\Vec{OC'}=4\hspace*{1pt}\Vec{OC}\,より \\ \makebox[11.2zw][r] {$v$(OA$'$B$'$C$'$)}=2\times 3\times 4\times v(\mbox{OABC}) \\ \hspace*{11.2zw} =24\,v(\mbox{OABC}) \hfill\cdots\cdots\ \maru{4} \hspace*{6zw}\\[.5mm] \quad 四面体\mbox{OAPBと四面体OABCは,平面ABC\paalen{平面APB}を底面としてO}から \\ \quad 下ろした垂線が共通であるから,体積比は底面積比と等しくなり,\ \ \raisebox{.5pt}{(3)}より \\ \makebox[164.5pt][r] {$v$(OAPB$):v$(OABC)}=\mathrm{\triangle APB:\triangle ABC} \\ \hspace*{164.5pt} =1:13 \hfill\cdots\cdots\ \maru{5} \hspace*{6zw}\\[1mm] \quad \maru{4},\ \maru{5}より \\ \hspace*{6zw} v(\mathrm{OA'B'C'})=24\times 13\,v(\mbox{OAPB}) =\underset{(83)(84)(85)}{\defbox{312}}v(\mbox{OAPB}) $} \end{document}