一橋大学 前期 2010年度 問1

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 一橋大学
学科・方式 前期
年度 2010年度
問No 問1
学部 商 ・ 経済 ・ 法 ・ 社会
カテゴリ 複素数と方程式 ・ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\mdot\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\Kakko#1{(\makebox[1.1zw][c]{#1})}%2文字分カッコ \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %大問番号 \def\NUMB#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=2pt \framebox[1.7zw][c]{\large\gt #1}}} %大問番号のリスト環境 \def\BM#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{2zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{2zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EM{\end{list}} %小問番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \BM{\NUMB{1}} 実数$p,\,q,\,r$に対して,3次多項式$f(x)$を$f(x)=x^3+px^2+qx+r$と定める.実数$a,c$,および0でない実数$b$に対して,$a+bi$と$c$はいずれも方程式$f(x)=0$の解であるとする.ただし,$i$は虚数単位を表す. \BK{\kakkoichi} $y=f(x)$のグラフにおいて,点$(a,\,f(a))$における接線の傾きを$s(a)$とし,点$(c,\,f(c))$における接線の傾きを$s(c)$とする.$a\neq c$のとき,$s(a)$と$s(c)$の大小を比較せよ. \EK \BK{\kakkoni} さらに,$a,\,c$は整数であり,$b$は0でない整数であるとする.次を証明せよ. \BK{\tokeiichi} $p,\,q,\,r$はすべて整数である. \EK \BK{\tokeini} $p$が2の倍数であり,$q$が4の倍数であるならば,$a,\,b,\,c$はすべて2の倍数である. \EK \EK \EM \end{jituwaku} \h\kai\quad 実数係数の3次方程式$f(x)=0$が$x=a+bi\;(b \neq 0)$を解にもつとき,$x=a-bi$も解である.よって \[f(x)=(x-c)\CK{x-(a+bi)}\CK{x-(a-bi)}=(x-c)\CK{(x-a)^2+b^2}\Cdots\maruichi\] \h\kakkoichib\quad \mruichi より \[f'(x)=\CK{(x-a)^2+b^2}+(x-c)\cdot2(x-a)\] したがって \[s(a)=f'(a)=b^2\] \[s(c)=f'(c)=(c-a)^2+b^2=(c-a)^2+s(a)\] $a \neq c$より$(c-a)^2>0$であるから\quad $\bd{s(a)<s(c)}$ \h\kakkonib\quad \mruichi より\\[-10pt] \begin{align*} f(x) &=(x-c)(x^2-2ax+a^2+b^2)\\ &=x^3-(2a+c)x^2+(2ac+a^2+b^2)x-(a^2+b^2)c \end{align*} これが$x^3+px^2+qx+r$に等しいから,係数を比較して \[-(2a+c)=p \Cdots\maruni\] \[2ac+a^2+b^2=q \Cdots\marusan\] \[(a^2+b^2)c=r \Cdots\marushi\] \h\tokeiichib\quad $a,\,b,\,c$が整数であるから,$\mruni,\,\mrusan,\,\mrushi$より$p,\,q,\,r$は明らかに整数である. \h\tokeinib\quad $a$は整数,$p$は2の倍数であるから\mruni より$c=-2a-p$は2の倍数である.よって$c=2k\;(kは整数)$とおけるから\mrusan より \[4ak+a^2+b^2=q \Yueni a^2+b^2=q-4ak\] $q$は4の倍数であるからこの式の右辺は4の倍数であり,$a^2+b^2$は4の倍数である.ここで$a,\,b$のうち一方が偶数,他方が奇数とすると$a^2+b^2$は奇数となって不適.また$a,\,b$ともに奇数のとき,$a=2l+1,\,b=2m+1\;(l,\,mは整数)$とおけて \[a^2+b^2=(2l+1)^2+(2m+1)^2=4(l^2+l+m^2+m)+2\] となり,これは4の倍数ではない.よって$a^2+b^2$が4の倍数となるのは$a,\,b$がともに偶数である場合に限る.以上より$a,\,b,\,c$はすべて2の倍数である. \end{document}