富山大学 前期 2001年度 問3

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解答作成者: 石谷 京介

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入試情報

大学名 富山大学
学科・方式 前期
年度 2001年度
問No 問3
学部 人文学部 ・ 人間発達科学部 ・ 経済学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 芸術文化学部
カテゴリ 微分法 ・ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt]{jarticle} \setlength{\hoffset}{-45pt} \setlength{\voffset}{-100pt} \setlength{\oddsidemargin}{0pt} \setlength{\marginparwidth}{0pt} \setlength{\textwidth}{500pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amssymb,ceo,custom_suseum,emathMw} \begin{document} \Shomon \begin{mawarikomi}[5]{200pt}{ $\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & - \infty & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & + \infty \\[0mm] \hline f'\left( x \right) & + & + & + & + & 0 & - & - \\[0mm] \hline f''\left( x \right) & + & + & 0 & - & - & - & - \\[0mm] \hline f\left( x \right) & 0 & \yatotuzou & \displaystyle{\frac{2}{e}} & \yaouzou & 1 & \yaougen & - \infty \\[0mm] \hline \end{array}$ } $f'\left( x \right) =-xe^{x},f''\left( x \right) =-\left( x+1 \right) e^{x}$より \\ $f'\left( x \right) =0 \naraba x=0,f''\left( x \right) =0 \naraba x=-1$\\ また$\displaystyle \lim_{x \to \infty }f\left( x \right) =-\infty$は明らかで,\\ $\displaystyle \lim_{x \to - \infty }xe^{x}=0\naraba \displaystyle \lim_{x \to - \infty }f\left( x \right) =0$ \\ $f\left( x \right)$の増減及び凹凸を右の表に示す。 \end{mawarikomi} さらにグラフの概形を以下に示す。\\ \input{graph1.tex} \\\\ \Shomon 点$\left( t,f\left( t \right)\right) $で接し,$\left( a,o \right)$を通る$y=f\left( x \right)$の接線を考える。\\ この接線は$y=-te^{t}\left( x-t \right) +\left( 1-x \right) e^{t}=-e^{t}\left( t+1 \right) x+\left( t^{2}+1 \right) e^{t}$と表せる。 \\ さらに$y=-e^{t}\left( t+1 \right) x+\left( t^{2}+1 \right) e^{t}$が$\left( x,y \right) =\left( a,0 \right) $を満たすので, \\ $0=-e^{t}\left( t+1 \right) a+\left( t^{2}+1 \right) e^{t}$が成立する。\\ (1)のグラフの概形より副接線は存在しないから\\ これを満たす解$t$の個数が接線の本数に一致する。\\ $t=-1$のときこの式は明らかに不成立なので,\\ $t+1,e^{t} \neq 0$より両辺を$e^{t}(t+1)$で割って整理すると,$a=\displaystyle \frac{t^{2}+1}{t+1}$を得る。 \\ 従ってこの解の個数はグラフ$y=a,y=\displaystyle \frac{t^{2}+1}{t+1}$の交点の個数である。 \\ ここで$g\left( t \right) =\displaystyle \frac{t^{2}+1}{t+1}$とおくと,$g'\left( t \right) =\displaystyle \frac{t^{2}+2t-1}{\left( t+1 \right) ^{2}},g''\left( t \right) =\displaystyle \frac{4}{\left( t+1 \right) ^{3}}$となるので, \\ $g\left( t \right) $の増減の様子,$y=g\left( t \right) $のグラフの概形は以下のとおりになる。 \\ $g\left( t \right) =\displaystyle \frac{t+\displaystyle \frac{1}{t}}{1+\displaystyle \frac{1}{t}}\displaystyle \lim_{t \to - \infty }g\left( t \right) =-\infty,\displaystyle \lim_{t \to \infty }g\left( t \right) =\infty$を考慮する。\\ \begin{mawarikomi}[100]{100pt}{ \input{graph2.tex} } $\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t & - \infty & \cdots & -1- \sqrt{2} & \cdots & -1 & \cdots & -1+\sqrt{2} & \cdots & + \infty \\[0mm] \hline g'\left( t \right) & + & + & 0 & - & × & - & 0 & + & + \\[0mm] \hline g''\left( t \right) & - & - & - & - & × & + & + & + & + \\[0mm] \hline g\left( t \right) & - \infty & \yaouzou & - 2\sqrt{2}-2 & \yaougen & × & \yatotugen & 2\sqrt{2}-2 & \yatotuzou & + \infty \\[0mm] \hline \end{array}$\\ \end{mawarikomi} 以上より\\ $a<-2\sqrt{2}-2,a>2\sqrt{2}-2$のとき2本\\ $a=-2 \pm 2\sqrt{2}$のとき1本\\ $-2\sqrt{2}-2<a<2\sqrt{2}-2$のとき0本\\ \end{document}