すうじあむ

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\documentclass[12pt]{jarticle} \usepackage{amssymb,custom_suseum,emathMw} \setlength{\hoffset}{-45pt} \setlength{\voffset}{-100pt} \setlength{\oddsidemargin}{0pt} \setlength{\marginparwidth}{0pt} \setlength{\textwidth}{500pt} \setlength{\textheight}{700pt} \begin{document} \begin{FRAME} $a$を実数の定数とする。関数$f\left( x \right) =x^{2}-\left| x-a \right| -a^{2}+3a$について次の問いに答えよ。\\ (1) $a=\displaystyle \frac{1}{4}$のとき,曲線$y=f\left( x \right) $の概形をかけ。\\ (2) 関数$f\left( x \right) $の最小値を$m\left( a \right) $とするとき,$m\left( a \right) $を求めよ。\\ (3) $a$が$-1 \le a \le 2$の範囲を動くとき,(2)で求めた$m\left( a \right) $の最大値を求めよ。 \end{FRAME} \begin{itemize} \item[(1)] $a=\displaystyle \frac{1}{4}$を代入して,$f\left( x \right) =x^{2}-\left| x-\displaystyle \frac{1}{4} \right| +\displaystyle \frac{11}{16}$である。\\ 従って,$x \le \displaystyle \frac{1}{4}$のとき$f\left( x \right) =x^{2}+x+\displaystyle \frac{7}{16}$,$x \ge \displaystyle \frac{1}{4}$のとき,$f\left( x \right) =x^{2}-x+\displaystyle \frac{15}{16}$ \\ よって概形は以下のようになる。\\ \input{ke.tex} \item[(2)] $x \le a$のとき,$f\left( x \right) =x^{2}+x-a^{2}+2a=\left( x+\displaystyle \frac{1}{2} \right) ^{2}-a^{2}+2a-\displaystyle \frac{1}{4},\\ x \ge a$のとき,$f\left( x \right) =x^{2}-x-a^{2}+4a=\left( x-\displaystyle \frac{1}{2} \right) ^{2}-a^{2}+4a-\displaystyle \frac{1}{4}$である。 \\ $\therefore m\left( a \right) =min\left\{ f\left( -\displaystyle \frac{1}{2} \right) ,f\left( \displaystyle \frac{1}{2} \right) \right\}$\\ \begin{mawarikomi}<0>{10zw}{ \input{ka.tex} } また,二次関数において,一般に,$x$の2次の係数を$a$,$l,h$を図のように定めたとき, \\ $h=al^{2}$の関係がある。 \\ \end{mawarikomi} よって直線$x=a$と$x=-\displaystyle \frac{1}{2}$,$x=a$と$x=\displaystyle \frac{1}{2}$の距離をそれぞれ比べて, \\ 前者が大きければ$m\left( a \right) =f\left( -\displaystyle \frac{1}{2} \right) $,後者が大きければ最$m\left( a \right) =f\left( \displaystyle \frac{1}{2} \right) $ \\ 以上より \\ $a \le 0$のとき$m\left( a \right) =f\left( \displaystyle \frac{1}{2} \right) =-a^{2}+4a-\displaystyle \frac{1}{4}$\\ $a \ge 0$のとき$m\left( a \right) =f\left( -\displaystyle \frac{1}{2} \right) =-a^{2}+2a-\displaystyle \frac{1}{4}$ \\ \item[(3)]$m\left( a \right) $の最大値を$M$とする。\\ (2)の結果から,\\ $-1 \le a \le 0$のとき$m\left( a \right) =-a^{2}+4a-\displaystyle \frac{1}{4}=-\left( a-2 \right) ^{2}-\displaystyle \frac{17}{4} \Rightarrow M=m\left( 0 \right) =-\displaystyle \frac{1}{4}$ \\ $0 \le a \le 2$のとき$m\left( a \right) =-a^{2}+2a-\displaystyle \frac{1}{4}=-\left( a-1 \right) ^{2}+\displaystyle \frac{3}{4} \Rightarrow M=m\left( 1 \right) =\displaystyle \frac{3}{4}$ \\ 以上より求める最大値は$a=1$のとき$\mathbf{\displaystyle \frac{3}{4}}$ \\ \end{itemize} \input{ke.tex} \end{document}