富山大学 前期 2001年度 問1

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解答作成者: 石谷 京介

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入試情報

大学名 富山大学
学科・方式 前期
年度 2001年度
問No 問1
学部 人文学部 ・ 人間発達科学部 ・ 経済学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 芸術文化学部
カテゴリ 図形と方程式 ・ 三角関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt]{jarticle} \usepackage{amssymb,custom_suseum} \usepackage{ceo} \setlength{\hoffset}{-45pt} \setlength{\voffset}{-100pt} \setlength{\oddsidemargin}{0pt} \setlength{\marginparwidth}{0pt} \setlength{\textwidth}{500pt} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent (1) $\sin x+\cos x \le 0,0 ^\circ \le x \le 180 ^\circ $を満たす$x$の範囲を求めよ。\\ (2) $\sin x+\cos x \le \sqrt{2-y^{2}},0 ^\circ \le x \le 180 ^\circ ,-\sqrt{2} \le y \le \sqrt{2}$を満たす点$\left( x,y \right) $の存在する範囲を図示せよ。 \end{FRAME} \begin{description} \item[(1)]$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left( x+45 ^\circ \right)$より,\\ 与式$\douti \sin\left( x+45 ^\circ \right) \le 0$であるから$0 ^\circ \le x \le 180 ^\circ$に注意して\\ $180 ^\circ \le x+45 ^\circ \le 225 ^\circ \therefore \mathbf{135^\circ \le x \le 180^\circ}$\\ \item[(2)](1)の範囲のときこの式は常に成立するから$0^\circ \le x \le 135^\circ$のときだけを考えればよい。 $1+\sin2x \le 2-y^{2} \douti y^{2} \le 1-\sin2x \douti -\sqrt{1-\sin2x} \le y \le \sqrt{1-\sin2x}$\\ ここで$f\left( x \right) =\sqrt{1-\sin2x}$と置く。\\ $f'\left( x \right) =\displaystyle \frac{-2\cos2x}{2\sqrt{1-\sin2x}}=-\displaystyle \frac{\cos2x}{\sqrt{1-\sin2x}}\\f''\left( x \right) =\displaystyle \frac{2\sin2x\sqrt{1-\sin2x}-\cos2x\displaystyle \frac{\cos2x}{\sqrt{1-\sin2x}}}{1-\sin2x}=-\displaystyle \frac{\cos^{2}2x-2\sin2x+2\sin^{2}2x}{\left( 1-\sin2x \right) \sqrt{1-\sin2x}}\\=-\displaystyle \frac{\sin^{2}2x-2\sin2x+1}{\left( 1-\sin2x \right) \sqrt{1-\sin2x}}$\\ よって$f\left( x \right)$の増減は以下のようになる。\\ $\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 ^\circ & \cdots & 45 ^\circ & \cdots & 90 ^\circ & \cdots & 135 ^\circ\\[0pt] \hline f'\left( x \right) & & - & & + & & + & \\[0mm] \hline f''\left( x \right) & 0 & - & - & - & 0 & - & - \\[0mm] \hline f\left( x \right) & 1 & \yaougen & 0 & \yaouzou & 1 & \yaougen & \sqrt{2}\\[0mm] \hline \end{array}$ よって求める範囲は以下(境界線含む)のとおりである。 \includegraphics[width=6cm, bb= 0 0 300 300]{i.eps} \end{description} \end{document}