センター試験 数学Ⅱ・B 2001年度 問3

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2001年度
問No 問3
学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\mdot\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt {\large \gt{第3問}}(配点 \; 20)\\ \quad 四面体の四つの頂点を,O,L,M,Nとする。線分OLを$2:1$に内分する点をPとし,線分MNの中点をQとする。$a$と$b$を1より小さい正の実数とする。線分ONを$a:(1-a)$に内分する点をRとし,線分LMを$b:(1-b)$に内分する点をSとする。$\vec{\ell}=\Vec{OL},\,\vec{m}=\Vec{OM},\,\vec{n}=\Vec{ON}$とおく。 \begin{shomon} $\Vec{RS}=\SK{\FBA{ア}-\FBA{イ}}\vec{\ell}+\FBA{ウ}\vec{m}-\FBA{エ}\vec{n}$ \[\ake\hspace{1.5pt}\Vec{RP}=\frac{\FBA{オ}}{\FBA{カ}}\vec{\ell}-\FBA{キ}\vec{n}\] \[\ake\hspace{1.5pt}\Vec{RQ}=\frac{\FBA{ク}}{\FBA{ケ}}\vec{m}+\SK{\frac{\FBA{コ}}{\FBA{サ}}-\FBA{シ}}\vec{n}\] が成立する。 \end{shomon} \begin{shomon} 以下$\vec{\ell}=(1,\,0,\,0),\,\vec{m}=(0,\,1,\,0),\,\vec{n}=(0,\,0,\,1)$の場合を考える。\\ \quad 点Sが3点P,Q,Rの定める平面上にあるとする。このとき,$\Vec{RS}$は実数$x$と$y$を用いて \[\ake\Vec{RS}=x\Vec{RP}+y\Vec{RQ}\] と表せる。これより \[\ake x=\frac{\FBA{ス}}{\FBA{セ}}(1-b),\,y=\FBA{ソ}b\] となり,$a$と$b$は \[\ake\FBA{タチ}+\FBA{ツ}-\FBA{テト}=0\] を満たすことがわかる。さらに,$\Vec{RP}$と$\Vec{RQ}$が垂直になるのは \[\ake a=\frac{\FBA{ナ}}{\FBA{ニ}},\,b=\frac{\FBA{ヌ}}{\FBA{ネ}}\] のときであり,このとき$\Vec{PQ}$と$\Vec{RS}$の内積は \[\ake\Vns{PQ}{RS}=\frac{\FBB{ノハヒ}}{\FBA{フヘ}}\] となる。 \end{shomon} \end{jituwaku} \h\kai\quad 条件より \[\Vec{OP}=\frac{2}{3}\vec{\ell},\,\Vec{OQ}=\frac{1}{2}(\vec{m}+\vec{n}),\,\Vec{OR}=a\vec{n},\,\Vec{OS}=(1-b)\vec{\ell}+b\vec{m}\] \ymawarikomi{14}{7}{4.5cm}{center2001-2b-3kaitou1.eps}{3.8cm}{30}% \kakkoichib\quad $\Vec{RS}=\Vec{OS}-\Vec{OR}=(\bd{1}-\bd{b})\vec{\ell}+\bd{b}\vec{m}-\bd{a}\vec{n}\GT{ア~エ}$ \[\Vec{RP}=\Vec{OP}-\Vec{OR}=\bd{\frac{2}{3}}\vec{\ell}-\bd{a}\vec{n}\GT{オカキ}\] \[\Vec{RQ}=\Vec{OQ}-\Vec{OR}=\bd{\frac{1}{2}}\vec{m}+\SK{\bd{\frac{1}{2}}-\bd{a}}\vec{n}\GT{ク~シ}\] \h\kakkonib\quad 点Sが平面PQR上にあるとき \[\Vec{RS}=x\Vec{RP}+y\Vec{RQ}\quad(x,\,yは実数)\] と表せるから,\kakkoichi の結果より \[(1-b)\vec{\ell}+b\vec{m}-a\vec{n}=x\SK{\frac{2}{3}\vec{\ell}-a\vec{n}}+y\CK{\frac{1}{2}\vec{m}+\SK{\frac{1}{2}-a}\vec{n}}\] \[\yueni\quad (1-b)\vec{\ell}+b\vec{m}-a\vec{n}=\frac{2}{3}x\vec{\ell}+\frac{1}{2}y\vec{m}+\CK{-ax+\SK{\frac{1}{2}-a}y}\vec{m}\] $\vec{\ell},\,\vec{m},\,\vec{n}$は一次独立であるから \[1-b=\frac{2}{3}x,\,b=\frac{1}{2}y,\,-a=-ax+\SK{\frac{1}{2}-a}y\] 第1式,第2式より\quad $x=\bd{\dfrac{3}{2}}(1-b),\,y=\bd{2}b\GT{スセソ}$\\ これらを第3式に代入して \[-a=-a\cdot\frac{3}{2}(1-b)+\SK{\frac{1}{2}-a}\cdot2b \] \[-2a=-3a+3ab+2b-4ab \Yueni \bd{ab}+\bd{a}-\bd{2b}=0\GT{タ~ト} \Cdots\maruichi\] また$\vec{\ell}=(1,\,0,\,0),\,\vec{m}=(0,\,1,\,0),\,\vec{n}=(0,\,0,\,1)$より \[\vabs{\vec{\ell}}=\vabs{\vec{m}}=\vabs{\vec{n}}=1,\,\vns{\ell}{m}=\vns{m}{n}=\vns{n}{\ell}=0\] であるから \[\Vns{RP}{RQ} =\SK{\frac{2}{3}\vec{\ell}-a\vec{n}}\cdot\CK{\frac{1}{2}\vec{m}+\SK{\frac{1}{2}-a}\vec{n}} =a\SK{\frac{1}{2}-a}\vabs{\vec{n}}^2=a\SK{\frac{1}{2}-a}\] よって$\Vec{RP}$と$\Vec{RQ}$が垂直,つまり$\Vns{RP}{RQ}=0$のとき\quad $a\SK{\dfrac{1}{2}-a}=0$\\ $0<a<1$より\quad $a=\bd{\dfrac{1}{2}}\GT{ナニ}$\\ \mruichi に代入して\quad $\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}-2b=0 \Yueni b=\bd{\dfrac{1}{3}}\GT{ヌネ}$\\ このとき \[\Vec{PQ}=\Vec{OQ}-\Vec{OP}=-\frac{2}{3}\vec{\ell}+\frac{1}{2}\vec{m}+\frac{1}{2}\vec{n}\] \[\Vec{RS}=\frac{2}{3}\vec{\ell}+\frac{1}{3}\vec{m}-\frac{1}{2}\vec{n}\] であるから \[\Vns{PQ}{RS}=-\frac{4}{9}\vabs{\vec{\ell}}^2+\frac{1}{6}\vabs{\vec{m}}^2-\frac{1}{4}\vabs{\vec{n}}^2=\bd{-\frac{19}{36}}\GT{ノ~ヘ}\] \end{document}