静岡大学 前期 2010年度 問2

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解答作成者: 鶴見 健了

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入試情報

大学名 静岡大学
学科・方式 前期
年度 2010年度
問No 問2
学部 人文学部 ・ 教育学部 ・ 情報学部 ・ 理学部 ・ 工学部 ・ 農学部
カテゴリ 三角関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[10pt]{jarticle} \usepackage{tabularx,emath,emathP,custom_suseum} \topmargin = -25mm \oddsidemargin = -10mm \marginparsep = -20mm \begin{document} \pagestyle{empty} \begin{FRAME} $xy$平面上で,点A$(-1,\, 0)$を中心とする円$C_1$と点B$(1,\, 0)$を中心とする円$C_2$が原点Oで外接している.点Pは円$C_1$上を,点Qは円$C_2$上を,それぞれ正の向きに回転する.今,P,Qが同時に原点を出発して,QはPの2倍の速さで回転する.このとき,次の問いに答えよ. \begin{enumerate}[(1)] \item $\kaku{OAP}=\theta$とするとき,点P,Qの座標をそれぞれ$\theta$を用いて表せ. \item 線分PQの長さの最大値を求めよ. \end{enumerate} \begin{flushright} (配点25\%) \end{flushright} \end{FRAME} \begin{enumerate}[(1)] \item 円$C_1$と$C_2$は原点で外接しているから,半径は1である.つまり, $$C_1: (x+1)^2+y^2=1$$ $$C_2: (x-1)^2+y^2=1$$ である.\\ さて,$\kaku{OAP}=\theta$とおくと,点Qは点Pの2倍の速さであり,どちらも正の向きに回転するから,$\kaku{OBQ}=2\theta$がいえる. \begin{zahyou}[ul=15mm](-2.5,2.5)(-1.25,1.25) \thicklines \En{(-1,0)}{1} \En{(1,0)}{1} \Kuromaru{(-1,0)} \Kuromaru{(1,0)} \Kuromaru{(-0.134,0.5)} \Kuromaru{(0.5,-0.866)} \Put{(-1,0.1)}{A} \Put{(1,0.1)}{B} \Put{(-0.16,0.6)}{P} \Put{(0.45,-1.1)}{Q} \Drawline{\O(-1,0)(-0.134,0.5)} \Drawline{\O(1,0)(0.5,-0.866)} \Kakukigou\O{(-1,0)}{(-0.134,0.5)}(8pt,2pt)[2]{$\theta$} \Kakukigou\O{(1,0)}{(0.5,-0.866)}(-6pt,-2pt)[2]{$2\theta$} \end{zahyou} $C_1$は$c^2+y^2=1$の円を$x$軸方向に$-1$,$C_2$は$c^2+y^2=1$の円を$x$軸方向に$1$だけ平行移動したものだから,P,Qの座標はそれぞれ次の通りである. $$\text{P}:(-1+\cos\theta,\, \sin\theta)$$ $$\text{Q}:(1-\cos2\theta,\, -\sin2\theta)$$ \newpage \item 倍角の公式より,$1-\cos2\theta=2\sin^2\theta$,$-\sin2\theta=-2\sin\theta\cos\theta$がいえる.よって, \begin{eqnarray*} \text{PQ}^2 &=& (-1+\cos\theta-2\sin^2\theta)^2+(\sin\theta+2\sin\theta\cos\theta)^2\\ &=& 1+\cos^2\theta+4\sin^4\theta-2\cos\theta+4\sin^2\theta \\ & & -4\sin^2\theta\cos\theta+\sin^2\theta+4\sin^2\theta\cos\theta+4\sin^2\theta\cos^2\theta\\ &=& 8\sin^2\theta-2\cos\theta+2\\ &=& -8\cos^2\theta-2\cos\theta+10\\ &=& -8\biggl(\cos\theta+\bunsuu{1}{8}\biggr)^2+\bunsuu{81}{8}\\ \end{eqnarray*} よって,$\cos\theta=-\bunsuu{1}{8}$のとき,$\text{PQ}=\bunsuu{9}{2\sqrt{2}}$,つまり$\bunsuu{9}{4}\sqrt{2}$が最大とわかる. \end{enumerate} \end{document}