大阪府立大学 前期<済・人社・看・リ> 2010年度 問3

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解答作成者: 1987yama3

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入試情報

大学名 大阪府立大学
学科・方式 前期<済・人社・看・リ>
年度 2010年度
問No 問3
学部 経済学部 ・ 人間社会学部 ・ 看護学部 ・ 総合リハビリテーション学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4j,12pt,fleqn]{jarticle} \usepackage{a4j,amsmath,amssymb,latexsym,theorem} \usepackage{custom_suseum} \begin{document} \begin{FRAME} 数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す. \begin{enumerate} \item 全ての自然数$n$に対して, $S_n = 2a_n - 1$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ. \item 全ての自然数$n$に対して, $S_n = a_n + n^2 -1$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ. \item $a_1 = 1, a_2 = 1$とし, 全ての自然数$n$に対して, $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$を満たす数列を $\{a_n\}$とする. このとき, 全ての自然数$n$に対して, $S_n = a_{n+2} -1$および, $S_n < 3a_n$が成り立つことを示せ. \end{enumerate} \end{FRAME} \begin{enumerate} \item $a_n = S_n - S_{n-1} = (2a_n -1) - (2a_{n-1} - 1)$より, $a_n - 2a_{n-1}=0$となり, 漸化式$a_n = 2a_{n-1}$が得られる. また, $S_1 = a_1 = 2a_1 -1$より, $a_1 = 1$であるから, 数列$\{a_n\}$の一般項は, $a_n = 2^{n-1}$となる. \\ \item $a_n = S_n - S_{n-1} = (a_n +n^2 -1)-\left\{ a_{n-1} + (n-1)^2 -1 \right\} = a_n - a_{n-1} + 2n - 1$. よって, $a_{n-1} = 2n -1$となるので, 数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n = 2n + 1$となる. \\ \item $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$より, $a_n = a_{n+2} - a_{n+1}$となるので, $\displaystyle S_n = \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n \left( a_{i+2} - a_{i+1} \right) = a_{n+2} - a_2 = a_{n+2} -1$. また, 数列$\{a_n\}$は増加数列であることから, $S_n = a_{n+2} -1 = a_{n+1} + a_n -1 = \left( a_n + a_{n-1} \right) + a_n -1 < 3a_n -1 < 3a_n$. \\ よって, $S_n = a_{n+2}-1, S_n < 3a_n$は示された. \end{enumerate} \end{document}