大阪府立大学 前期<済・人社・看・リ> 2010年度 問4

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解答作成者: 1987yama3

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入試情報

大学名 大阪府立大学
学科・方式 前期<済・人社・看・リ>
年度 2010年度
問No 問4
学部 経済学部 ・ 人間社会学部 ・ 看護学部 ・ 総合リハビリテーション学部
カテゴリ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4j,12pt,fleqn]{jarticle} \usepackage{a4j,amsmath,amssymb,latexsym,theorem} \usepackage{custom_suseum} \begin{document} \begin{FRAME} $xy$平面上に2直線 \[ \ell : y=-x+5, \hspace{2zw} m: y=3x-3 \] が与えられている. 曲線$C$は, $y=x^2$を平行移動した放物線であり, 直線$\ell$と点$P$で接し, 直線$m$と点$Q$で接しているとする. \begin{enumerate} \item $C$の方程式を求めよ. \item $P, Q$の座標をそれぞれ求めよ. \item $C$と$\ell, m$で囲まれた部分の面積を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \begin{enumerate} \item $C$の放物線を, $y = (x-a)^2 + b$と置くと, これが$\ell: y=-x+5$と接するので, $-x + 5 = (x-a)^2 + b \Longleftrightarrow x^2 -(2a-1)x + a^2 + b - 5 = 0$ が重解を持てばよい. 判別式を$D_1$とすると, $D_1 = (2a-1)^2 - 4(a^2 + b - 5) = -4a -4b + 21 = 0$. \\ また, $m: y=3x-3$とも接するので, $3x-3 = (x-a)^2 + b \Longleftrightarrow x^2 - (2a+3)x + a^2 + b + 3 = 0$ が重解を持てばよい. 判別式を$D_2$とすると, $D_2 = (2a+3)^2 - 4(a^2 + b + 3) = 12a - 4b - 3 = 0$. \\ $D_1=0, D_2=0$から, $\displaystyle a= \frac{3}{2}, b = \frac{15}{4}$を得る. 以上より, $\displaystyle C: y=\left(x-\frac{3}{2} \right)^2 + \frac{15}{4} = x^2 - 3x + 6$ \\ \item $\ell, C$の式より, $-x + 5 = x^2 - 3x + 6$から, $x^2 -2x +1 = (x-1)^2=0$を得て, $P(1,4)$. $m, C$の式より, $3x-3 = x^2 -3x+6$から, $x^2-6x+9=(x-3)^2 = 0$を得て, $Q(3, 6)$. \\ \item $\ell, m$の交点の$x$座標の値は, $-x+5=3x-3$より, $x=2$である. よって, 求める面積を$S$とすると, $\displaystyle S = \int_1^2 \left\{(x^2-3x+6) - (-x+5) \right\} dx + \int_2^3 \left\{(x^2-3x+6) - (3x-3) \right\} dx \\ = \int_1^2 (x-1)^2 dx + \int_2^3 (x-3)^2 dx = \left[ \frac{1}{3}(x-1)^3 \right]_1^2 +\left[ \frac{1}{3} (x-3)^3 \right]_2^3 = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}(-1)^3 = \frac{2}{3}$ \end{enumerate} \end{document}