大阪府立大学 前期<工・生命・理> 2010年度 問2

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解答作成者: 1987yama3

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入試情報

大学名 大阪府立大学
学科・方式 前期<工・生命・理>
年度 2010年度
問No 問2
学部 工学部 ・ 生命環境科学部 ・ 理学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4j,12pt,fleqn]{jarticle} \usepackage{a4j,amsmath,amssymb,latexsym,theorem} \usepackage{custom_suseum} \begin{document} \begin{FRAME} 数列$\{a_n\}$が, $\hspace{2zw} a_1 = 1,$ $\displaystyle \hspace{2zw} a_{n+1} = \frac{n}{n+5} a_n \hspace{2zw} (n=1,2,3,\cdots)$ で与えられている. 数列$\{b_n\}$を $\displaystyle \hspace{2zw} b_n = \frac{n+4}{4}a_n \hspace{2zw} (n=1,2,3,\cdots)$ で定める. \begin{enumerate} \item 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ. \item $b_n - b_{n+1} - a_n$を求めよ. \item $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$を$n$を用いて表せ. \item 無限級数$a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots$の和を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \begin{enumerate} \item $\displaystyle a_n=\frac{n-1}{n+4}a_{n-1} = \frac{n-1}{n+4}\frac{n-2}{n+3}a_{n-2} \\ \hspace{1zw} = \cdots = a_1 \times \frac{(n-1)(n-2)\cdots 2 \cdot 1}{(n+4)(n+3) \cdots 7 \cdot 6} = \frac{120 \times (n-1)!}{(n+4)!}$ \\ \item $\displaystyle b_n - b_{n+1} - a_n = \frac{n+4}{4}a_n - \frac{n+5}{4}a_{n+1} - a_n \\ \hspace{1zw} = \frac{n+4}{4} a_n - \frac{n+5}{4}\frac{n}{n+5}a_n - a_n = \frac{n+4}{4}a_n - \frac{n}{4}a_n - a_n = 0$ \\ \item $i=1,2,\cdots, n$に対し, $b_i - b_{i+1} - a_i = 0$であるから, $\displaystyle \sum_{i=1}^n \left( b_i - b_{i+1} - a_i \right) = 0$となる. また, $\displaystyle \sum_{i=1}^n \left( b_i - b_{i+1} - a_i \right) = b_1 - b_{n+1} - S_n$であるので, $b_1 - b_{n+1} - S_n = 0$から, $S_n = b_1 - b_{n+1}$を得る. よって, $\displaystyle S_n = b_1 - b_{n+1} = \frac{5}{4}a_1 - \frac{n+5}{4}a_{n+1} \\ \hspace{5zw} = \frac{5}{4}a_1 - \frac{n+1}{4}\frac{n}{n+5}a_n = \frac{5}{4} - \frac{30 \times n!}{(n+4)!}$ \\ \item 求める無限級数の和は, $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}S_n$である. よって, $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \left\{ \frac{5}{4} - \frac{30 \times n!}{(n+4)!} \right\} = \frac{5}{4}$ \end{enumerate} \end{document}