富山大学 前期 1999年度 問3

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解答作成者: 石谷 京介

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入試情報

大学名 富山大学
学科・方式 前期
年度 1999年度
問No 問3
学部 人文学部 ・ 人間発達科学部 ・ 経済学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 芸術文化学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt]{jarticle} \usepackage{amssymb,latexsym,custom_suseum} \begin{document} \setlength{\hoffset}{-45pt} \setlength{\voffset}{-130pt} \begin{FRAME} 放物線$y=x^{2}$と直線$y=kx+\displaystyle \frac{1}{4}$で囲まれた図形の面積$S{(k)}$について,次の問いに答えよ。\\ (1) ${S \left(k\right) }$を求めよ。\\ (2)極限値${\displaystyle \lim_{k \rightarrow - \infty } \frac{S \left(k\right) }{k ^{3} } }$および${\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty } \frac{S \left(k\right) }{k ^{3} } }$を求めよ。\\ (3)実数${k \left(k \neq 0\right) }$についての関数${f \left(k\right) =\displaystyle \frac{S \left(k\right) }{k} }$のグラフの概形をかけ。 \end{FRAME} \begin{description} \item[(1)] \includegraphics[width=6cm, bb= 0 0 300 300]{f.eps}\\ 2式を連立して、\\ $x^{2}=kx+\displaystyle \frac{1}{4} \Leftrightarrow x^{2}-kx-\displaystyle \frac{1}{4}=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle \frac{k \pm \sqrt{k^{2}+1}}{2}$\\ ここでこの値を$\alpha =\displaystyle \frac{k-\sqrt{k^{2}+1}}{2},\beta =\displaystyle \frac{k+\sqrt{k^{2}+1}}{2}$ とおくと\\ $S\left( k \right) =\displaystyle \int_{\alpha }^{\beta }\left( x^{2}-kx-\displaystyle \frac{1}{4} \right) dx=\displaystyle \frac{1}{6}\left( \beta -\alpha \right) ^{3}=\displaystyle \frac{\left( k^{2}+1 \right) ^{\displaystyle \frac{3}{2}}}{6}$となる。\\ \item[(2)]$k>0$のとき\\ $k^{3}=\left( k^{2} \right) ^{\displaystyle \frac{3}{2}}$より$\displaystyle \frac{S\left( k \right) }{k^{3}}=\displaystyle \frac{\left( k^{2}+1 \right) ^{\displaystyle \frac{3}{2}}}{6} \cdot \displaystyle \frac{1}{k^{3}}=\displaystyle \frac{1}{6}\left( \displaystyle \frac{k^{2}+1}{k^{2}} \right) ^{\displaystyle \frac{3}{2}}=\displaystyle \frac{1}{6}\left( 1+\displaystyle \frac{1}{k^{2}} \right) ^{\displaystyle \frac{3}{2}}$\\\\ $\therefore \displaystyle \lim_{k \to \infty }\displaystyle \frac{S\left( k \right) }{k^{3}}=\displaystyle \frac{1}{6}$\\ また、$k<0$のとき、$-k=t$とおきかえて、\\ $k^{3}=\left( -t \right) ^{3}=-\left( t^{2} \right) ^{\displaystyle \frac{3}{2}}$より$\displaystyle \frac{S\left( k \right) }{k^{3}}=\displaystyle \frac{S\left( -t \right) }{\left( -t \right) ^{3}}=\displaystyle \frac{1}{6}\left( t^{2}+1 \right) ^{\displaystyle \frac{3}{2}} \cdot \displaystyle \frac{1}{-t^{3}}=-\displaystyle \frac{1}{6}\left( \displaystyle \frac{t^{2}+1}{t^{2}} \right) ^{\displaystyle \frac{3}{2}}=-\displaystyle \frac{1}{6}\left( 1+\displaystyle \frac{1}{t^{2}} \right) ^{\displaystyle \frac{3}{2}}$\\ $ \therefore \displaystyle \lim_{k \to - \infty }\displaystyle \frac{S\left( k \right) }{k^{3}}=-\displaystyle \frac{1}{6}$ \item[(3)]両辺に底が自然対数である対数をとる。\\ $f\left( k \right) =\displaystyle \frac{1}{6} \cdot \displaystyle \frac{\left( k^{2}+1 \right) ^{\displaystyle \frac{3}{2}}}{k^{3}} \Leftrightarrow logf\left( k \right) =\displaystyle \frac{3}{2}log\left( k^{2}+1 \right) -log6-3logk$\\ 両辺を$k$で微分して、\\ $\displaystyle \frac{f'\left( k \right) }{f\left( k \right) }=\displaystyle \frac{3}{2} \cdot \displaystyle \frac{2k}{k^{2}+1}-\displaystyle \frac{3}{k}=3\displaystyle \frac{k^{2}-\left( k^{2}+1 \right) }{k\left( k^{2}+1 \right) }=-\displaystyle \frac{3}{k\left( k^{2}+1 \right) }$\\ $ \therefore f'\left( k \right) =-\displaystyle \frac{\left( k^{2}+1 \right) ^{\displaystyle \frac{3}{2}}}{6k^{3}} \cdot \displaystyle \frac{3}{k\left( k^{2}+1 \right) }=-\displaystyle \frac{\sqrt{k^{2}+1}}{2k^{4}}$\\ したがって$f\left( k \right)$の増減とグラフの概形は以下のようになる。\\ $\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|} \hline k & - \infty & \cdots & 0 & \cdots & + \infty \\[0mm] \hline f'\left( k \right) & - & - & & - & - \\[0mm] \hline f\left( k \right) & -\displaystyle \frac{1}{6} & \searrow & & \searrow & \displaystyle \frac{1}{6} \\[0mm] \hline \end{array}$\\ \includegraphics[width=6cm, bb= 0 0 300 300]{g.eps} \end{description} \end{document}