富山大学 前期 1999年度 問2

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解答作成者: 石谷 京介

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入試情報

大学名 富山大学
学科・方式 前期
年度 1999年度
問No 問2
学部 人文学部 ・ 人間発達科学部 ・ 経済学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 芸術文化学部
カテゴリ 図形と方程式 ・ 三角関数 ・ 微分法と積分法 ・ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[12pt]{jarticle} \usepackage{amssymb,custom_suseum,latexsym} \begin{document} \input{style.tex} \begin{FRAME} ${2 \cos^{3} x+\cos2x-a=0}$ これが${0 ^{ \circ } \leq x \leq 180 ^{ \circ } }$においてただひとつの解を持つとき実数${a}$が満たす範囲を求めよ 。 \end{FRAME} \noindent $2cos^{3}x+\cos2x=a$である。\\ また、(左辺)$=2\cos^{3} x+2\cos^{2} x-1$と変形される。\\ ここで $\cos x=t$ とおく。 $-1 \le t \le 1\left(\because 0 \le x \le 180 ^\circ \right)$\\ さらに(左辺)$=f\left( t \right) $とすると\\ $f\left( t \right) =2t^{3}+2t^{2}-1$、$f'\left( t \right) =2t\left( 3t+2 \right) $ \\ であるから$f\left(t \right)$の増減、$y=f\left(t \right)$ の概形は次のようになる\\ $$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & \cdot \cdot \cdot & -\displaystyle \frac{2}{3} & \cdot \cdot \cdot & 0 & \cdot \cdot \cdot & 1 \\ \hline f'\left( x \right) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f\left( x \right) & -1 & \nearrow & -\displaystyle \frac{19}{27} & \searrow & -1 & \nearrow & 3 \\ \hline \end{array}$$ $y=a$のグラフが$y=f\left(x \right)$のグラフと$-1 \le x \le 1$の範囲で交点をただひとつ持てば良い。\\ $ \therefore -\displaystyle \frac{19}{27} < a \le 3$\\ \includegraphics[width=150pt]{image.eps} \end{document}