富山大学 前期 1999年度 問1

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解答作成者: 石谷 京介

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入試情報

大学名 富山大学
学科・方式 前期
年度 1999年度
問No 問1
学部 人文学部 ・ 人間発達科学部 ・ 経済学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 芸術文化学部
カテゴリ 式と証明
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\fbox{\parbox{\textwidth}{ 実数$a$が$a+\displaystyle \frac{1}{a}=\sqrt{5}$を満たすとき、次の値を求めよ。\\ (1) $a^{2}+\displaystyle \frac{1}{a^{2}}$\\\\ (2) $a^{5}+\displaystyle \frac{1}{a^{5}}$}} \begin{description} \item[(1)] $ a^{2}+\displaystyle \frac{1}{a^{2}}=\left( a+\displaystyle \frac{1}{a} \right) ^{2}-2\left( a \times \displaystyle \frac{1}{a} \right) =5-2=\mathbf{3}$ \item[(2)] $ a^{3}+\displaystyle \frac{1}{a^{3}}=\left( a+\displaystyle \frac{1}{a} \right) ^{3}-3\left( a+\displaystyle \frac{1}{a} \right) \left( a \times \displaystyle \frac{1}{a} \right) =5\sqrt{5}-3\sqrt{5}=2\sqrt{5}$であるので、\\ $ a^{5}+\displaystyle \frac{1}{a^{5}}=\left( a^{2}+\displaystyle \frac{1}{a^{2}} \right) \left( a^{3}+\displaystyle \frac{1}{a^{3}} \right) -\left( a^{2} \times \displaystyle \frac{1}{a^{3}}+a^{3} \times \displaystyle \frac{1}{a^{2}} \right) \\ = 3 \times 2\sqrt{5}-\left( a+\displaystyle \frac{1}{a} \right) =6\sqrt{5}-\sqrt{5}=\mathbf{5\sqrt{5}}$ \end{description}