青山学院大学 法学部 2010年度 問2

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解答作成者: behind

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入試情報

大学名 青山学院大学
学科・方式 法学部
年度 2010年度
問No 問2
学部 法学部
カテゴリ 三角関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
このタイプの問題はセンターなどでよく見かけますね。誘導が無くても解けなければいけませんね。
(退会済み) さん 2012/05/02 02:34:21 報告
\fbox{ \begin{tabular}{l} \fbox{\hspace{0.1em}2\hspace{0.1em}}\\ ${k}$を定数とする。関数\\ \hspace{3.5em}${y= \left(k- \sin \theta \right) \left(k+ \cos \theta \right) }$\hspace{1.0em}${ \left(0 \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} \theta \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} \pi \right) }$\\ について、次の問いに答えよ。\\ \\ (1) ${x= \sin \theta - \cos \theta }$とするとき、${y}$を${x}$と${k}$を用いて表せ。\\ (2) ${x}$のとりうる値の範囲を求めよ。\\ (3) ${y}$の最小値を${k}$を用いて表せ。\\ \end{tabular} } \\ \\ 【解答】\\ (1)\\ \hspace{3.5em}${y=k ^{2} -k \left( \sin \theta - \cos \theta \right) - \sin \theta \cos \theta }$\\ ここで、${ \left( \sin \theta - \cos \theta \right) ^{2} =1-2 \sin \theta \cos \theta =x ^{2}}$ であるから、\\ \hspace{3.5em}$\displaystyle{ \sin \theta \cos \theta = \frac{1-x ^{2} }{2} }$\\ よって、$\displaystyle{y=k ^{2} -kx- \frac{1-x ^{2} }{2} = \frac{1}{2} x ^{2} -kx+k ^{2} - \frac{1}{2} \cdots (答)}$\\ (2)\\ \hspace{3.5em}$\displaystyle{x= \sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \sin \left( \theta - \frac{ \pi }{4} \right) }$\\ ${ 0 \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} \theta \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} \pi }$より、\\ \hspace{3.5em}$\displaystyle{- \frac{ \pi }{4} \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} \theta - \frac{ \pi }{4} \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} \frac{3}{4} \pi }$\\ \hspace{3.5em}$\displaystyle{- \frac{1}{ \sqrt{2} } \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} \sin \left( \theta - \frac{ \pi }{4} \right) \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} 1}$\\ よって、${-1 \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} x \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} \sqrt{2} \cdots (答)}$\\ (3)\\ \hspace{3.5em}$\displaystyle{y= \frac{1}{2} x ^{2} -kx+k ^{2} - \frac{1}{2}=f(x)}$とおく。\\ \hspace{3.5em}$\displaystyle{f \left(x\right) = \frac{1}{2} \left(x ^{2} -2kx\right) +k ^{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \{ \left(x-k\right) ^{2} -k ^{2} \}+k ^{2} - \frac{1}{2} }$\\ \hspace{5.9em}$\displaystyle{= \frac{1}{2} \left(x-k\right) ^{2} + \frac{1}{2} k ^{2} - \frac{1}{2} }$\\ ${k<-1}$のとき、\\ \hspace{3.5em}最小値$\displaystyle{f \left(-1\right) = \frac{1}{2} +k+k ^{2} - \frac{1}{2} =k ^{2} +k\cdots (答)}$\\ ${-1 \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} k \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} \sqrt{2} }$のとき、\\ \hspace{3.5em}最小値$\displaystyle{f \left(k\right) = \frac{1}{2} k ^{2} - \frac{1}{2} \cdots (答)}$\\ ${ \sqrt{2} <k}$のとき、\\ \hspace{3.5em}最小値$\displaystyle{f \left( \sqrt{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot 2- \sqrt{2} k+k ^{2} - \frac{1}{2} =k ^{2} - \sqrt{2} k+ \frac{1}{2} \cdots (答)}$\\