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解答作成者: behind
入試情報
大学名 |
青山学院大学 |
学科・方式 |
法学部 |
年度 |
2010年度 |
問No |
問2 |
学部 |
法学部
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カテゴリ |
三角関数
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状態 |
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全件表示
No |
メッセージ |
投稿者 |
日時 |
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1 |
このタイプの問題はセンターなどでよく見かけますね。誘導が無くても解けなければいけませんね。 |
(退会済み) さん
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2012/05/02 02:34:21 |
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報告
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\fbox{
\begin{tabular}{l}
\fbox{\hspace{0.1em}2\hspace{0.1em}}\\
${k}$を定数とする。関数\\
\hspace{3.5em}${y= \left(k- \sin \theta \right) \left(k+ \cos \theta \right) }$\hspace{1.0em}${ \left(0 \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} \theta \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} \pi \right) }$\\
について、次の問いに答えよ。\\
\\
(1) ${x= \sin \theta - \cos \theta }$とするとき、${y}$を${x}$と${k}$を用いて表せ。\\
(2) ${x}$のとりうる値の範囲を求めよ。\\
(3) ${y}$の最小値を${k}$を用いて表せ。\\
\end{tabular}
} \\
\\
【解答】\\
(1)\\
\hspace{3.5em}${y=k ^{2} -k \left( \sin \theta - \cos \theta \right) - \sin \theta \cos \theta }$\\
ここで、${ \left( \sin \theta - \cos \theta \right) ^{2} =1-2 \sin \theta \cos \theta =x ^{2}}$ であるから、\\
\hspace{3.5em}$\displaystyle{ \sin \theta \cos \theta = \frac{1-x ^{2} }{2} }$\\
よって、$\displaystyle{y=k ^{2} -kx- \frac{1-x ^{2} }{2} = \frac{1}{2} x ^{2} -kx+k ^{2} - \frac{1}{2} \cdots (答)}$\\
(2)\\
\hspace{3.5em}$\displaystyle{x= \sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \sin \left( \theta - \frac{ \pi }{4} \right) }$\\
${ 0 \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} \theta \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} \pi }$より、\\
\hspace{3.5em}$\displaystyle{- \frac{ \pi }{4} \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} \theta - \frac{ \pi }{4} \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} \frac{3}{4} \pi }$\\
\hspace{3.5em}$\displaystyle{- \frac{1}{ \sqrt{2} } \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} \sin \left( \theta - \frac{ \pi }{4} \right) \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} 1}$\\
よって、${-1 \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} x \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} \sqrt{2} \cdots (答)}$\\
(3)\\
\hspace{3.5em}$\displaystyle{y= \frac{1}{2} x ^{2} -kx+k ^{2} - \frac{1}{2}=f(x)}$とおく。\\
\hspace{3.5em}$\displaystyle{f \left(x\right) = \frac{1}{2} \left(x ^{2} -2kx\right) +k ^{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \{ \left(x-k\right) ^{2} -k ^{2} \}+k ^{2} - \frac{1}{2} }$\\
\hspace{5.9em}$\displaystyle{= \frac{1}{2} \left(x-k\right) ^{2} + \frac{1}{2} k ^{2} - \frac{1}{2} }$\\
${k<-1}$のとき、\\
\hspace{3.5em}最小値$\displaystyle{f \left(-1\right) = \frac{1}{2} +k+k ^{2} - \frac{1}{2} =k ^{2} +k\cdots (答)}$\\
${-1 \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} k \hspace{0.3em}\raisebox{0.4ex}{$<$}\hspace{-0.75em}\raisebox{-.7ex}{=}\hspace{0.3em} \sqrt{2} }$のとき、\\
\hspace{3.5em}最小値$\displaystyle{f \left(k\right) = \frac{1}{2} k ^{2} - \frac{1}{2} \cdots (答)}$\\
${ \sqrt{2} <k}$のとき、\\
\hspace{3.5em}最小値$\displaystyle{f \left( \sqrt{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot 2- \sqrt{2} k+k ^{2} - \frac{1}{2} =k ^{2} - \sqrt{2} k+ \frac{1}{2} \cdots (答)}$\\