名古屋大学 前期文系 2009年度 問3

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解答作成者: 池尻 薫

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入試情報

大学名 名古屋大学
学科・方式 前期文系
年度 2009年度
問No 問3
学部 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済 ・ 情報文化(社会システム情報)
カテゴリ 確率 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \begin{document} \begin{FRAME} さいころを投げると,1から6までの整数の目が等しい確率で出るとする。さいころを$n$回($n$=1, 2, 3, …)投げるとき,出る目の積の一の位が$j$($j$=0, 1, 2, …, 9)となる確率を$p_n(j)$とする。\\ (1) $p_2(0)$, $p_2(1)$, $p_2(2)$を求めよ。\\ (2) $p_{n+1}(1)$を,$p_n(1)$と$p_n(7)$を用いて表せ。\\ (3) $p_n(1)+p_n(3)+p_n(7)+p_n(9)$を求めよ。 \end{FRAME} \vspace{2\baselineskip} $n$回目に出る目を$a_n$とし,$n$回目までに出る目の積の一の位が$j$であることを$b_n=j$と表す。 \begin{enumerate} \item[(1) ] $b_2=0$となるのは,$(a_1, a_2)=(2, 5), (5, 2), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)$の6通りなので, $\displaystyle p_2(0)=\frac{6}{6^2}=\frac{1}{6}$\\ $b_2=1$となるのは,$(a_1, a_2)=(1, 1)$の1通りなので, $\displaystyle p_2(1)=\frac{1}{6^2}=\frac{1}{36}$\\ $b_2=2$となるのは,$(a_1, a_2)=(1, 2), (2, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 4), (4, 3)$の6通りなので, $\displaystyle p_2(2)=\frac{6}{6^2}=\frac{1}{6}$\\ \item[(2) ] $b_n=1$のとき$a_{n+1}=1$,$b_n=7$のとき$a_{n+1}=3$ならば$b_{n+1}=1$となるので,\\ $\displaystyle p_{n+1}(1)=\frac{1}{6}p_n(1)+\frac{1}{6}p_n(7)$\\ \item[(3) ] $b_n=1$のとき$a_{n+1}=3$,$b_n=3$のとき$a_{n+1}=1$ならば$b_{n+1}=3$となるので,\\ $\displaystyle p_{n+1}(3)=\frac{1}{6}p_n(1)+\frac{1}{6}p_n(3)…(あ)$\\ $b_n=7$のとき$a_{n+1}=1$,$b_n=9$のとき$a_{n+1}=3$ならば$b_{n+1}=7$となるので,\\ $\displaystyle p_{n+1}(7)=\frac{1}{6}p_n(7)+\frac{1}{6}p_n(9)$…(い)\\ $b_n=3$のとき$a_{n+1}=3$,$b_n=9$のとき$a_{n+1}=1$ならば$b_{n+1}=9$となるので,\\ $\displaystyle p_{n+1}(9)=\frac{1}{6}p_n(3)+\frac{1}{6}p_n(9)…(う)$\\ また,(2)の結果より,$\displaystyle p_{n+1}(1)=\frac{1}{6}p_n(1)+\frac{1}{6}p_n(7)$…(え)\\ (あ)~(え)を辺々加えると,$\displaystyle p_{n+1}(1)+p_{n+1}(3)+p_{n+1}(7)+p_{n+1}(9)=\frac{1}{3}(p_n(1)+p_n(3)+p_n(7)+p_n(9))$\\ よって,$\displaystyle p_n(1)+p_n(3)+p_n(7)+p_n(9)=(\frac{1}{3})^{n-1}(p_1(1)+p_1(3)+p_1(7)+p_1(9))$\\ $\displaystyle p_1(1)=p_1(3)=\frac{1}{6}$なので,$\displaystyle p_1(1)+p_1(3)=\frac{1}{3}$\\ ゆえに,$\displaystyle p_n(1)+p_n(3)+p_n(7)+p_n(9)=\frac{1}{3}(\frac{1}{3})^{n-1}=(\frac{1}{3})^n$\\ <別解>\\ $b_n$が5以外の奇数となるのは,出る目が$n$回とも1または3のときなので,求める確率は$\displaystyle (\frac{1}{3})^n$ \end{enumerate} \end{document}